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Die Variable t und Wendepunkt berechnen

Schüler

Tags: Variable t, Wendepunkt

lilly25 aktiv_icon

11:52 Uhr, 16.12.2011

Ich soll für folgende Funktion den Wendepunkt ausrechnen:

$f (x) = t x^{2} - \frac{2}{3} x^{4}$

Die Ableitungen hab ich schon gemacht (ich hoffe richtig):

$f' (x) = 2 t x - 4 x^{3}$
$f'' (x) = 2 t - 12 x^{2}$
$f''' (x) = - 24 x$

Notwendige Bedingungen für einen Wendepunkt ist:
$f'' (x) = 0$
$2 t - 12 x^{2} = 0$

So, und hier komme ich jetzt nicht weiter. Ich kann leider mit dem $t$ nicht umgehen, da ich es nicht wie eine Zahl behandeln kann obwohl es sich so verhält/verhalten soll. Die Eingabe in den Taschenrechner funktioniert auch nicht. Wie stelle ich diese Gleichung $(2 t - 12 x^{2} = 0)$ nach $x$ um bzw. wie finde ich $x$ heraus?

Für eine Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Underfaker aktiv_icon

11:55 Uhr, 16.12.2011

Erste Ableitung ist falsch:

$f' (x) =$ 2tx $- \frac{8}{3} x^{3}$

entsprechend sind die anderen auch falsch..., musst du nochmal machen, dann kümmern wir uns um den WP

CKims aktiv_icon

11:57 Uhr, 16.12.2011

kleiner fehler bei der ableitung

$f' (x) = 2 t x - \frac{8}{3} x^{3}$

$f'' (x) = 2 t - 8 x^{2}$

$f''' (x) = - 16 x$

dann

$2 t - 8 x^{2} = 0$

$2 t = 8 x^{2}$

$\frac{1}{4} t = x^{2}$

$\pm \sqrt{\frac{1}{4} t} = x$

$\pm \frac{\sqrt{t}}{2} = x$

und jetzt kann man $t$ frei wählen... nun gucken wie es mit der zweiten bedingung fuer einen wendepunkt aussieht...

lilly25 aktiv_icon

12:09 Uhr, 16.12.2011

Ich frage mich gerade, wie zum Teufel ich auf $- 4 x^{3}$ in der 1. Ableitung komme... oO Wenn ich es nachrechne, kommt bei mir auch $- \frac{8}{3} x^{3}$ raus...

Welche Methode muss ich bei dem $t$ anwenden?

Die Zweite Bindung für den Wendepunkt ist, das weiß ich, dass $f''' (x) \neq 0$ sein muss.

Aber jetzt bin ich verwirrt... die Funktion kann eig. keinen Wendepunkt haben, da $f''' (x) = 16 x$ aufgelöst 0 ergibt... oder vertue ich mich da? Ich glaub, ich irre mich, aber ich komme einfach auf kein gescheites Ergebnis für $f''' (x) \neq 0$

Underfaker aktiv_icon

12:19 Uhr, 16.12.2011

Was meinst du mit Methode?

Das $t$ bleibt erstmal so wie es ist.

Du musst nun deine beiden x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen um zu sehen ob es ein Wendepunkt ist.

lilly25 aktiv_icon

12:26 Uhr, 16.12.2011

Ich kann mit dem $t$ nicht umgehen (auch, wenn es ein $a,$ oder $c,$ oder $g$ wäre), weil ich es nicht wie eine Zahl behandeln und herumschieben kann etc. Ich stelle die Gleichung zu

$- 8 x^{2} = - 2 t$

um und weiß nicht, was ich dann mit dem $t$ machen soll, $v . a$ . nicht in Verbindung mit $x^{2} . .$ .

Und wenn ich nicht rausfinde, was $x$ ist, kann ich auch die Aufgabe nicht lösen... $> . <$

Aber $\pm \frac{\sqrt{t}}{2}$ eingesetzt in $f''' (x) = - 16 x$ ist

$f''' (x) = - 16 \cdot \pm \frac{\sqrt{t}}{2}$

und das ist, soweit ich es erkenne, nicht 0?

Underfaker aktiv_icon

12:30 Uhr, 16.12.2011

Na aber gnädigerweise steht das oben doch schon?! Oo

$8 x^{2} = 2 t | : 8$

$x^{2} = \frac{1}{4} t | \sqrt{}$

$x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{1}{4} t} = \pm (0,5 \sqrt{t})$

Das ist dein endgültiges Ergebnis für die x-Werte denn der Parameter $t$ heißt nichts anderes, als das diese Funktion von diesem abhängt, das heißt man setzt irgendwann für $t$ was ein um die Funktion genauer beschreiben zu können, aber allgemein gilt das was oben steht.

Jetzt musst du folgendes machen:

$f''' (0,5 \sqrt{t}) \neq 0$ ?

$f''' (- 0,5 \sqrt{t}) \neq 0$ ?

Wenn du keine Angabe in der Aufgabe über das $t$ hast überlege dir wann welche Werte rauskommen (Tipp: $t < 0; t > 0; t = 0 ...)$

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