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Differenzierbarkeit, Umkehrfunktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, mengen, Umkehrfunktion

Lexiii92 aktiv_icon

17:34 Uhr, 31.05.2016

Guten Tag,

geben Sie zur nachfolgenden Funktionsvorschrift offene Mengen

D, W \subseteq ℝ

so an, dass

f : D \to W

bijektiv ist und untersuchen Sie

f

als auch

f^{- 1}

auf Differenzierbarkeit. Geben Sie ggf. die Ableitungen dieser beiden Funktionen an:

f (x) := e^{\sqrt{ln (x^{2})}}

Ich bin ein wenig überfragt hinsichtlich der offenen Mengen und der Differenzierbarkeit.

x \in D = ℝ

? Die Definitionsmenge ist doch

ℝ

und die Wertemenge ist

W = {y \in W | y > 0}

?

Nach der Definition der inversen Funktion ist ja eine inverse Funktion einer bijektiven Funktion, die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. Wie soll ich außerdem offene Mengen angeben damit eine gegebene Funkion bijektiv ist? Ich meine entweder ist sie es, oder sie ist es nicht. Differenzierbar ist

f (x)

auf jeden Fall.

Die Ableitung ist ja doppelte Kettenregel:

f' (x) = \frac{1}{x \cdot \sqrt{ln (x^{2})}} \cdot e^{\sqrt{ln (x^{2})}}

Ich bin unsicher wie ich die Differenzierbarkeit untersuchen soll?

Lexi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

20:34 Uhr, 31.05.2016

.
"Die Definitionsmenge ist doch ℝ "

... ... ... ... ...

. NEIN ..

das solltest du nochmal neu überlegen,
denn das im Radikanden stehende

ln (x^{2})

kann doch negativ werden?!

\to

für welche

x

?

also: wie sieht dann der richtige Def-Bereich

D

aus?

\to ...

.

und die Wertemenge

W

ist dann auch neu zu bedenken..

also mach erst mal soweit ..
.

Lexiii92 aktiv_icon

09:12 Uhr, 03.06.2016

Ja stimmt.

Der Definitionsbereich muss ja

D = {ℝ | x > 0}

Da ja der

ln

nur x-Werte größer 0 annehmen darf. Klar.

Jedoch macht mir die Wertemenge noch Probleme.

Diese muss ja

W = {ℝ | y \geq 1}

Und das kann ich gerade noch nicht nachvollziehen. Ich kann mir nie vorstellen wie verschachtelte Funktionen aussehen.

Daher versuche ich immer den Wertebereich bzw. Definitionbereich anhand der Funktion mir zu ermitteln

Wenn ich jetzt die Umkehrfunktion bilde:

f (x) = e^{\sqrt{{ln}^{2} (x)}}

y = e^{\sqrt{{ln}^{2} (x)}}

. .

x = e^{\sqrt{ln (y)}}

Wieso ist jetzt

y \geq 1

? Ich erkenne das einfach nicht. Ist die Aussage richtig, wenn ich die Umkehrfunktion bilde, dass dann mein Definitionsbereich zum Wertebereich wird?

y = e^{\sqrt{ln (x)}}

Ich bin mir da noch unklar, wie man wohl merkt

: (

Respon

09:51 Uhr, 03.06.2016

" Der Definitionsbereich muss ja

. .

. "
Nein !
Überlege dir "

ln

" und "

x^{2}

rundblick aktiv_icon

10:07 Uhr, 03.06.2016

.
wau !

du solltest dann schon noch herausbekommen, wie deine Aufgabe richtig heisst

Fall

1 \to

\to

zu Beginn , als du noch "Guten Tag" gewünscht hast,

sah es so aus

\to f (x) = e^{\sqrt{l n (x^{2})}}

Fall

2 \to

\to

und jetzt hast du daraus dies gemacht

\to f (x) = e^{\sqrt{{ln}^{2} (x)}}

\Rightarrow

mache dir klar,
dass

\sqrt{ln (x^{2})} .

. und ..

\sqrt{{ln}^{2} (x)}

völlig verschiedene Dinger sind !

Und wenn ich nun davon ausgehe, dass deine ursprüngliche Version (Fall

1)

richtig ist
dann kann ich dir versichern, dass deine neue Vermutung :
"Der Definitionsbereich muss ja D=

{

ℝ|x>0}"

\to

völlig falsch ist, dh nicht zu Fall 1 gehört.

wenn du herausgefunden hast, wie deine Aufgabe nun wirklich heisst, dann beginne
neu nachzudenken zB über den richtigen D-Bereich (falls Fall 1 gemeint ist)

also

\to ...

.
.

Lexiii92 aktiv_icon

13:15 Uhr, 03.06.2016

Spott im hohen Maße verdient. Ich bin einfach neben mir das Wetter setzt mich einfach zu...

Zur Funktion selbst, ja es ist:

f (x) = e^{\sqrt{ln (x^{2})}}

Wenn man sich die Funktion zeichnet sieht man alles direkt...

Nur wie komme ich am Besten an Definitionsmenge und Wertemenge heran, wenn ich sie nicht auf anhieb zeichnen kann? Kann mir da jemand einen Tipp geben. Ich weiß die Definitionsbereiche und Wertebereiche der Grundfunktionen sind, jedoch macht mir dann die Verkettung bzw. Komposition von verschiedenen Funktion immer wieder Probleme

: (

Wie kann ich es mir immer anhand der Funktionsgleichung herleiten?

D = {ℝ | x \geq 1

oder

x \leq - 1}

W = {ℝ | y \geq 1}

f^{- 1}

Wäre dann doch, wenn ich die Funktion nach

x

auflöse und die Variablen vertausche also:

y (x) = e^{\sqrt{ln (x^{2})}}

ln (y) = \sqrt{ln (x^{2})}

{ln}^{2} (y) = ln (x^{2})

e^{{ln}^{2} (y)} = x^{2}

x = \pm e^{{ln}^{2} \frac{y}{2}}

Jetzt sollte ich noch die Umkehrfunktion:

y = \pm e^{{ln}^{2} \frac{x}{2}}

ableiten um zu zeigen, dass die Umkehrfunktion differenzierbar ist?

y' = + e^{{ln}^{2} \frac{x}{2}} \cdot \frac{ln (x)}{x}

und

y' = - e^{{ln}^{2} \frac{x}{2}} \cdot \frac{ln (x)}{x}

Sorry für mein Dusel

Lexi

rundblick aktiv_icon

14:31 Uhr, 03.06.2016

.
" neben mir das Wetter " .. und vor dir:

f (x) = e^{\sqrt{l n (x^{2})}}

" setzt mich einfach zu.."

...

. süss

. .

.

" Wie kann ich es mir immer anhand der Funktionsgleichung herleiten?"

D=

{

ℝ|x≥1 oder x≤−1}

also hier zB schrittweise so

\to

\to x^{2} > 0

für alle

x \in R

(mit

x \neq 0)

\to

also ist

l n (x^{2})

für alle

x \in R . . (

mit

x \neq 0)

definiert, ABER

\to

\to

für

- 1 < x < 1

ist

\to ln (x^{2})

NEGATIV .. und deshalb ist

\to

\to \sqrt{ln (x^{2})}

NUR DEFINIERT FÜR alle

x \in R .

. mit

\to | x | \geq 1

... ... ... ... ... ... ... . .

. denn nur dann ist

ln (x^{2}) \geq 0

Freude kommt auf,
denn so kannst du deinen oben erwähnten D.-Bereich dusellos herleiten.
ok?

kurz zu

W :

der kleinste Wert, den

\sqrt{ln (x^{2})} .

. ( für

x \in D) .

. annehmen kann ist

0 .

. (warum?)
also ist

e^{0} = 1

der kleinste Wert für

f (x) . .

. ( klar warum?)

PS: Anmerkungen zu deiner lustigen Umkehrfunktion fehlen hier ja noch ..
aber sonst soeit alles klar ?
.
.

Lexiii92 aktiv_icon

14:43 Uhr, 03.06.2016

Oh joa. Es gehen schon Lichtchen auch manchmal.

Zu schaffen macht mich noch die Differenzierbarkeit. Wenn ich es doch differenziert habe, dann muss ich noch extra den Differenzenquotienten bilden explizit der Ableitung?

Die Aufgabe meint denke ich mit dem untersuchen, noch dies oder?

Weil ansonsten habe ich ja alles berechnet.

Grüße

Lexi

rundblick aktiv_icon

14:51 Uhr, 03.06.2016

.
"Weil ansonsten habe ich ja alles berechnet."

aber ob da "alles" dann auch richtig ist - ist ja eh noch strittig...

zur Diff-barkeit :
da war zB ja noch die Frage nach dem "offenen" Intervall, in dem

\to f

diffbar ist ..?!

\to ...

?

wau
und dann :
schau dir deine Herleitung für

f^{- 1}

doch nochmal selbstkritisch an
und mach es dann nochmal besser ..

hm?

. .

.
.

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