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Differenzierbarkeit und Umkehrfunktion
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation, Stetigkeit, Umkehrfunktion
 
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Gegeben eine Funktion mit nun solle wir zeigen dass, Die Funktion bijektiv sowie stetig differenzierbar ist und dmit eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt die Ableitung berechnen Und meine Frage lautet: Muss ich da die Bijektivität und Differenzierbarkeit getrennt zeigen? (Oder kann man das auch gleichzeitig beweisen?) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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In diesem Fall berechnet man die Ableitung, sieht, dass sie immer positiv ist, woraus folgt, dass die Funktion monoton steigend ist, und sagt: voila, die Funktion ist eine bijektive Abbildung, weil monoton steigend. |
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Das war sehr kurz und deutlich zu verstehen Danke. :-) Aber wieso wäre eine monoton steigende Funktion gleich bijektiv? (zum Beispiel würde doch und in der Ableitung doch gleiche Lösung haben. Verletzt das nicht die Definition der Injektivität?) Gilt es nur für diesen Fall oder ist es eine allgemeine Aussage? |
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Eine streng monoton steigende Funktion ist nicht immer bijektiv, aber immer injektiv, daher immer umkehrbar, das ist eine allgemeine Aussage. Und diese konkrete ist auch surjektiv, das folgt aber nicht aus der Monotonie. Steng monoton => injektiv. Beweis. Sei . O.E. kann man annehmen. Monoton steigend bedeutet, dass dann gilt. Daher auf jeden Fall . Also, gezeigt: => . Das ist die Injektivität, per Definition. |
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"Verletzt das nicht die Definition der Injektivität?" ist auch nicht injektiv. Wir sprechen aber von , nicht von . |
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Also war das einfach nur ein Denkfehler von mir. Vielen Dank |
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