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Distanz zwischen zwei Zufallspunkten

Universität / Fachhochschule

Tags: Distanz, Fläche, Stochastik

MatzeLele aktiv_icon

13:40 Uhr, 31.01.2023

Hallo!

Meine Frage lautet:

Wie berechnet man den durchschnittlichen Abstand zwischen zwei zufällig ausgewählten Punkten auf einer gegebenen Fläche?

Die Fläche umfasst in meinem Fall $4.800$ Quadratkilometer und hat die Form eines Quadrats. Ich möchte wissen, wie weit zwei zufällig ausgewählte Orte (Punkte) im Durchschnitt liegen.

Mein bisheriges Ergebnis lautet: ca. $48.990$ Kilometer.

Mein Rechenweg: Ich ziehe die Wurzel aus $4.800,$ um die Seitenlänge des Quadrats zu erhalten $(= 69.2820323028)$ . Ich berechne die Länge der Diagonalen, indem ich die Seitenlänge mit der Wurzel aus 2 multipliziere $(= 97.9795897113)$ . Anschliessend teile ich den Betrag durch zwei.

Meine Gedankengang: Der maximale Abstand zwischen zwei Punkten ist die Diagonale, der minimale Abstand ist null. Folglich ist der durchschnittliche Abstand zweier Zufallspunkte die Hälfte der Diagonalen (zumindest annäherungsweise, weil null kein Abstand ist, aber sei's drum). Denn in einem Quadrat gibt es für jede mögliche Distanz jeweils gleich viele Endpunkte. Daher kann ich den Maximal- und den Minimalabstand nehmen und durch zwei teilen (und vielleicht liegt hier ein Denkfehler).

Kann mir jemand helfen und sagen, ob das richtig ist? Mein Schul-Mathe ist schon etwas verstaubt. Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

HAL9000

14:33 Uhr, 31.01.2023

Zwei Anmerkungen:

1) Den Punkt . sowohl als Tausendertrennzeichen (bei 4.800 Quadratkilometer) als auch als Dezimalpunkt (bei 48.990 Kilometer) zu verwenden erhöht nicht gerade die Lesbarkeit.

2) Deine Berechnungsmethode "einfach die halbe Diagonalenlänge nehmen" ergibt nicht den mittleren Entfernungswert (im Sinne "Erwartungswert") für zwei zufällig auf dem Quadrat verteilte Punkte. Tatächlich ist es im Einheitsquadrat der Wert

$E (L) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}} d x_{1} d x_{2} d y_{1} d y_{2}$

Durch geschickte Substitution lässt sich das auf das Integral

$E (L) = \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} (1 - ∣ x ∣) (1 - ∣ y ∣) \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y = 4 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (1 - x) (1 - y) \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y \approx 0.5214$

zurückführen. Mit Stammfunktion

$\int (1 - x) \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x = \frac{y^{2}}{2} \ln (x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}) - \frac{2 x^{2} + 2 y^{2} - 3 x}{6} \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

lässt sich das ganze noch schreiben als

$E (L) = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} (1 - y) (3 y^{2} \ln (\frac{1 + \sqrt{1 + y^{2}}}{y}) + (1 - 2 y^{2}) \sqrt{1 + y^{2}} + 2 y^{3}) d y$ ,

aber letzteres lässt sich wohl nicht mehr geschlossen integrieren, zumindest nicht mit dem Arsenal "üblicher" Funktionen.

Deutlich einfacher in der Berechnung ist übrigens $E (L^{2}) = \frac{1}{3}$ , was dann zusammen mit dem obigen Ergebnis zur Varianz $V (L) = E (L^{2}) - {(E (L))}^{2} \approx 0.06147$ und damit einer Standardabweichung von ungefähr $0.2479$ für die Entfernung zweier solcher zufälliger Punkte führt.

MatzeLele aktiv_icon

15:14 Uhr, 31.01.2023

Herzlichen Dank! Die Antwort verstehe ich nur in Teilen, liegt aber an meinen mangelnden Mathe-Kenntnissen. Trotzdem vielen Dank.

HAL9000

15:20 Uhr, 31.01.2023

OK, das Resümee $0.5214$ hätte ich vielleicht deutlicher hervorheben können. ;-)

In deinem Fall wären das dann etwa $36.12 k m$ .

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