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Dose berechnen - wenig Fläche bei angegebenem Volu

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Dose, Volumen, wenig fläche

Nikke aktiv_icon

16:42 Uhr, 11.02.2010

Hallo,

Ich habe eine Aufgabe bei der ich verzweifle. Ich soll eine Dose berechnen. Sie hat ein Volumen von 850cm^3. Und ich soll sie so berechnen das ich die lösung bekomme bei der ich am wenigsten Metall also Fläche benutze. Wie mach ich das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

16:52 Uhr, 11.02.2010

Zylindrische Dose?
Dann ist das Volumen ja

π \cdot r^{2} \cdot h

und somit

π \cdot r^{2} \cdot h = 850

(das Volumen ist ja angegeben). Daraus folgt

h = \frac{850}{π \cdot r^{2}}

Die Oberflächenformel lautet zunächst:

O (r, h) = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot h

und ist also von 2 Variablen abhängig. Nun können wir die oben durch die Volumenangabe errechnete Abhängigkeit

h' s

von

r

ersetzen:

O (r) = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{850}{π \cdot r^{2}} = 2 \cdot π \cdot r^{2} + \frac{1700}{r} = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 1700 \cdot r^{- 1}

Von dieser Funktion musst du nun den Tiefpunkt bestimmen.(Ableiten, gleich null setzen etc.)

Gruß Shipwater

Helaked aktiv_icon

08:14 Uhr, 03.05.2011

Ich hatte eine ähnliche Aufgabe für die Schule zu rechnen.
Deswegen habe ich diese Formel aufgestellt.

Damit lassen sich wie gewünscht die optimalen Werte für

h, r

und

d

bestimmen.
Soweit

V

(Volumen) bekannt.

{(4 \cdot \frac{V}{π})}^{\frac{1}{3}} = h = d = 2 r

Diese Formel basiert auf der Erkenntnis das für eine minimale Oberfläche

d = h

ist.

Ich bin mir leider nicht sicher ob ich diese Formel einfach benutzen darf da es in der Aufgabe eigentlich um Differentialrechnung geht. Falls nicht ist sie aber trotzdem eine super Kontrolle.

Ps: In deinem Fall also

{(4 \cdot \frac{850}{π})}^{\frac{1}{3}} = 10.267 = h = d

Für

r

einfach durch 2 teilen

= 5.133

Geht ja deutlich schneller als der vorgeschlagene Weg

=)

Shipwater aktiv_icon

09:52 Uhr, 03.05.2011

Hallo,

unbewiesene Tatsachen würde ich keinesfalls benutzen. Also entweder zuerst beweisen, dass

h_{m i n} = d_{m i n}

ist oder eben gleich so rechnen wie ich es gemacht habe. Die Rechnung ist ja fast die gleiche also von daher eigentlich eher sinnlos es erstmal allgemein zu zeigen. Zur Kontrolle darf man sich sowas aber gerne merken. Ähnlich wie, dass bei gegebenem Umfang das Quadrat den größten Flächeninhalt hat.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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