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Dreieck verschieben

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Dreieck, Matrix, verschieben

maroni15 aktiv_icon

19:39 Uhr, 17.03.2013

Hallo!

Ein Dreieck mit den Eckunkten

A (0, 0, 0, 1)^{T}

B (2, 0, 0, 1)^{T}

B (1, 2, 0, 1)^{T}

soll um

T_{1} (- 1, - 1, 0)

verschoben werden.

Wie mache ich das? Bitte eine einfache Erklärung und evtl. eine Zeile vorrechnen, damit ich die anderen selbst berechnen kann.

Die Lösung lautet (mit LaTeX hat das nicht funktioniert, deswegen einfach als Text)

1,0,0,-1
0,1,0,-1
0,0,1,0
0,0,0,1

Vielen Dank!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

22:35 Uhr, 17.03.2013

Was ist denn eigentlich genau in der Aufgabenstellung verlangt.
Ist eine entsprechende Matrix zu finden, die multipliziert mit den Ortsvektoren der Eckpunkte die enstprechenden verschobenen Ortsvektoren liefert?

Oder es wäre zumindest hilfreich zu wissen, was für Themen zur Zeit behandelt werden.

Zunächst einmal will ich anmerken, dass eine solche Verschiebung im Allgmeinen keine lineare Abbildung beschreibt. Daher lässt sich auch keine Matrix finden, die multipliziert mit irgendeinem Ortsvektor, den entsprechenden verschobenen Ortsvektor liefert.

In diesem Fall ist dies jedoch möglich, da nur drei bestimmte Punkte, deren Ortsvektoren linear unabhänhig sind, im 4-dimensionalen Raum verschoben werden sollen.

Übrigens hat dein Vektor, um den verschoben werden soll nur drei Komponenten. Gemeint ist wahrscheinlich

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

. Zumindest passt dann die Matrix aus der Lösung.

Nun zur Lösung der Aufgabe:
Die gesuchte Matrix

M,

soll folgende Eigenschaften haben:

M \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

M \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

M \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Die drei Bedingungen beschreiben nun ein lineares Gleichungssystem mit den

4 \cdot 4 = 16

Einträgen von

M

als Variablen. Dieses Gleichungssystem ist allerdings unterbestimmt, da die Bedingungen nur für

3 \cdot 4 = 12

Einträge ausreicht.

Beim Lösen des Gleichungssystems, kann man dann die Einträge der dritten Spalte von frei wählen.
Dass die Einträge dieser dritten Spalte egal ist, kann man daran erkennen, da jeweils die dritte Komponente von

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gleich 0 ist. Daher werden die Einträge der dritten Spalte von

M

sowieso immer nur mit 0 multipliziert.
Durch die drei Bedingungen sind dann die restlichen Einträge bestimmt.
Als Ergebnis erhält man dann:

M = (\begin{matrix} 1 & 0 & m_{1, 3} & - 1 \\ 0 & 1 & m_{2, 3} & - 1 \\ 0 & 0 & m_{3, 3} & 0 \\ 0 & 0 & m_{4, 3} & 1 \end{matrix})

Die Arbeit mit dem Lösen des Gleichungsystems kann man sich aber auch sparen, wenn man zusätzlich noch erkennt, dass jeweils die vierte Komponente von

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gleich 1 ist.
Denn nun kann man den folgenden Trick anwenden:

Für den Verschiebungsvektor gilt

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ 1 \end{matrix})

für alle

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

.

Also ergibt

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

multipliziert mit den Ortsvektoren, die abgebildet werden sollen jeweils den Verschiebungsvektor.

Wenn nun also

x

einer der Ortsvektoren, die abgebildet werden sollen, ist dann gilt:

M \cdot x = x + (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = x + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot x = E \cdot x + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot x = (E + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})) \cdot x

Dabei ist

E

die passende Einheitsmatrix. Eine mögliche Lösung für

M

ist also:

M = E + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Das ist aber, wie bereits geschrieben nicht die einzige Lösung. Möglich ist

M = (\begin{matrix} 1 & 0 & m_{1, 3} & - 1 \\ 0 & 1 & m_{2, 3} & - 1 \\ 0 & 0 & m_{3, 3} & 0 \\ 0 & 0 & m_{4, 3} & 1 \end{matrix})

für beliebige Einträge

m_{1, 3}, m_{2, 3}, m_{3, 3}

und

m_{4, 3}

.

Das sind allerdings nun ziemlich viele Spezialfälle, auf die man beim Lösen der Aufgabe stößt.
Daher nochmals die Bitte nach der genauen Aufgabenstellung.

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