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Dreiecke im Koordinatensystem, unbekannter Radius

Universität / Fachhochschule

Tags: Dreieck, Dreiecksberechnung, Koordinatensystem

cinderr aktiv_icon

11:59 Uhr, 18.06.2019

Hallo allerseits,
diese Frage ist nicht Bestandteil einer Hausaufgabe.

Ich habe ein Koordinatensystem mit 4 Bekannten Punkten (Eckpunkten), welche ein Rechteck bilden. Die Abstände zwischen den einzelnen Punkten sind bekannt.
Jetzt soll in dem Rechteck die Position eines Punktes

P

bestimmt werden. Von

P

ist der Abstand zu einem Eckpunkt der Radius

r

. Dieser ist unbekannt. Die Abstände zu den anderen Eckpunkten sind mit

x (1,2,3) + r

gegeben, wobei

x (1,2,3)

jeweils bekannt ist,

r

hingegen nicht.

Wie kann ich

r

berechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

abakus

13:42 Uhr, 18.06.2019

Doppelpost:
www.mathelounge.de/640987/dreiecke-unebekannter-radius

cinderr aktiv_icon

14:15 Uhr, 18.06.2019

Sehr gut aufgepasst und recherchiert @abakus

Da ich heute zum ersten Mal eine Frage in einem Matheforum einstellen wollte, habe ich "Mathe Forum" bei Google gesucht und mein Anliegen in den ersten beiden Foren gepostet. Warum? Weil ich nicht wusste wie stark beide Foren frequentiert werden. Und während ich in dem anderen Forum mehrere sinnvolle Antworten erhielt, habe ich in diesem keine erhalten, bis auf Deinen brandmarkenden, aber nicht helfenden Hinweis, "Doppelpost". Meiner Ansicht nach war es bis jetzt die richtige Entscheidung so zu handeln.

Ich suche weiterhin noch nach einer Lösung für mein Problem.

Edddi aktiv_icon

14:59 Uhr, 18.06.2019

Seien a und

b

die Rechteckseiten,

x, y

und

z

die Längen von Eckpunkt zu dem Rand des Kreises, dann gilt:

4 \cdot a \cdot b = \sqrt{[{(z + 2 r)}^{2} - a^{2}] \cdot [a^{2} - z^{2}]} + \sqrt{[{(x + 2 r)}^{2} - b^{2}] \cdot [b^{2} - x^{2}]}

+ \sqrt{[{(x + y)}^{2} - a^{2}] \cdot [a^{2} - {(y - x)}^{2}]} + \sqrt{[{(z + y)}^{2} - b^{2}] \cdot [b^{2} - {(y - z)}^{2}]}

mit

y

und

z

an der Rechteckseite

b

.

Damit könnte man schonmal mit einem Funktionsplotter eine Lösung suchen.

Ob sich das noch nach

r

algebraisch auflösen lässt, kannst du ja probieren, dazu muss allea ausgewurzelt werden und dadurch werden die Terme immer höhergradiger.

;-)

Edddi aktiv_icon

15:39 Uhr, 18.06.2019

. .

. eine andere Möglichkeit wäre ein GLS über den Kosinussatz:

cos (φ_{1}) = \frac{a + {(y + r)}^{2} - {(x + r)}^{2}}{2 a (y + r)}

cos (φ_{2}) = \frac{b + {(y + r)}^{2} - {(z + r)}^{2}}{2 b (y + r)}

φ_{1} + φ_{2} = \frac{π}{2} \Rightarrow φ_{2} = \frac{π}{2} - φ_{1}

Damit dann:

cos (φ_{1}) = \frac{a + {(y + r)}^{2} - {(x + r)}^{2}}{2 a (y + r)}

cos (\frac{π}{2} - φ_{1}) = \frac{b + {(y + r)}^{2} - {(z + r)}^{2}}{2 b (y + r)}

Das zu:

cos (φ_{1}) = \frac{a + {(y + r)}^{2} - {(x + r)}^{2}}{2 a (y + r)}

sin (φ_{1}) = \frac{b + {(y + r)}^{2} - {(z + r)}^{2}}{2 b (y + r)}

φ_{1} \leq \frac{π}{2} \Rightarrow sin (φ_{1}) = \sqrt{1 - cos (φ_{1})}

Also weiter zu:

cos (φ_{1}) = \frac{a + {(y + r)}^{2} - {(x + r)}^{2}}{2 a (y + r)}

\sqrt{1 - cos (φ_{1})} = \frac{b + {(y + r)}^{2} - {(z + r)}^{2}}{2 b (y + r)}

(K)eine Äquivalenzumformung:

cos (φ_{1}) = \frac{a + {(y + r)}^{2} - {(x + r)}^{2}}{2 a (y + r)}

1 - cos (φ_{1}) = \frac{{(b + {(y + r)}^{2} - {(z + r)}^{2})}^{2}}{4 b^{2} {(y + r)}^{2}}

Einsetzen von

cos (φ_{1}) :

1 = \frac{{(b + {(y + r)}^{2} - {(z + r)}^{2})}^{2}}{4 b^{2} {(y + r)}^{2}} + \frac{a + {(y + r)}^{2} - {(x + r)}^{2}}{2 a (y + r)}

1 = \frac{{(b + {(y + r)}^{2} - {(z + r)}^{2})}^{2} \cdot a}{4 a b^{2} {(y + r)}^{2}} + \frac{(a + {(y + r)}^{2} - {(x + r)}^{2}) \cdot (y + r) \cdot 2 \cdot b^{2}}{4 a b^{2} {(y + r)}^{2}}

4 a {(y + r)}^{2} = \frac{a}{b^{2}} {(b + {(y + r)}^{2} - {(z + r)}^{2})}^{2} + 2 (y + r) (a + {(y + r)}^{2} - {(x + r)}^{2})

.
.
.

usw.

Atlantik aktiv_icon

16:36 Uhr, 18.06.2019

Ich habe mal eine Zeichnung angefertigt, wo alle gegebenen Werte grün und die gesuchten Werte rot eingetragen sind. Es ist nun das Viereck

G B F E

ein Sehnenviereck.

Ändere ich nun einen Wert der Grünkreise oder auch die Maße des Rechtecks, so gibt es keine Lösung.

Eine Mitteilung der gegebenen Werte ist nun wünschenswert.

mfG

Atlantik

cinderr aktiv_icon

20:48 Uhr, 18.06.2019

Vielen Dank für Eure Beiträge. Da ich es programmieren möchte ist ein iteratives Verfahren möglich, aber ich würde halt gerne wissen, ob es nicht auch ein algebraisches gibt.

Edddi aktiv_icon

21:37 Uhr, 18.06.2019

. .

. wenn du meine obige letzte Gleichung ausmultiplizierst, solltest du eine Gleichung mit dem gesuchten

r

zweiten Grades erhalten.

Die reellen Ergebnisse müsstest du nochmals kontrollieren, da ich bei einer Umformung quadriert habe.

;-)

Edddi aktiv_icon

07:12 Uhr, 19.06.2019

4 (\frac{a y^{2}}{b^{2}} - \frac{2 a y z}{b^{2}} + \frac{a z^{2}}{b^{2}} + y - x - a) r^{2}

+ 4 (\frac{a y}{b} - \frac{a z}{b} + \frac{a y^{3}}{b^{2}} - \frac{a y^{2} z}{b^{2}} + \frac{a z^{3}}{b^{2}} - \frac{a y z^{2}}{b^{2}} + \frac{3}{2} y^{2} - x y + \frac{a}{2} - \frac{x^{2}}{2} - 2 a y) r

+ (a + \frac{2 a y^{2}}{b^{2}} - \frac{2 a z^{2}}{b} + \frac{a y^{4}}{b^{2}} - \frac{2 a y^{2} z^{2}}{b^{2}} + \frac{a z^{4}}{b^{2}} + 2 a y + 2 y^{3} - 2 x^{2} y - 4 a y^{2})

= 0

Dies wäre die quadratische Gleichung, welche nun nach

r

aufgelöst werden kann.
Im Anhang nochmal eine Skizze für die richtigen Bezeichner.

P . S

. mir ist aufgefallen, dass ich am Anfang schon einen kleinen Fehler drinhatte.

In meinem gestrigen Beitrag von

15 : 39

Uhr muss bei den ersten beiden Kosinusformeln natürlich

a^{2}

bzw

b^{2}

stehen, statt a und

b

.

Da zieht sich dann natürlich durch alle Umformungen. Da du jetzt aber alle Schritte hast, sollte das ja kein Problem sein.

;-)

;-)

Roman-22

13:56 Uhr, 19.06.2019

Ich habs mal einem CAS überantwortet.
Es sollte mittlerweile ja klar sein, dass die Aufgabe mit 5 Eingabegrößen überbestimmt ist, es reichen vier:

a . .

. Breite des Rechtecks

b . .

. Höhe des Rechtecks

x_{1} . .

. Abstand eines Eckpunkts von

P

x_{2} . .

. Abstand des diagonal gegenüberliegenden Eckpunkts von

P

Die Koordinaten von

P,

der Radius

r

und auch der Abstand

x_{3}

von einem weiteren Eckpunkt können dann bereits ermittelt werden. Die Lösungen sind je nach Eingabewerten nicht notwendigerweise reell und auch wenn sie das sind, muss

P

nicht immer innerhalb des Rechtecks liegen.

Dem beigefügten Screenshot der Lösung samt konkretem Zahlenbeispiel sollte entnommen werden können, wie ich das KS gelegt habe und welche Größen

a, b, x_{1}, x_{2},

etc. sind.
Bei Unklarheiten - nachfragen.

P . S . :

Es handelt sich hier natürlich um einen Spezialfall des Apollonius-Problems, bei dem einer der drei Kreise zu einem Punkt degeneriert ist. Für diesen Speziallfall gibt es

i . a

. vier Lösungen, von denen aber nicht alle für deine Aufgabe relevant sind.

HAL9000

16:55 Uhr, 20.06.2019

> Meiner Ansicht nach war es bis jetzt die richtige Entscheidung so zu handeln.

Toll, wie du dir für dein Verhalten wider die Netiquette noch auf die Schulter klopfst. Der Beitrag von abakus war schon deswegen wichtig und hilfreich, dass sich die Helfer hier ein Bild machen können, was im anderen Forum schon so gelaufen ist, statt sich für nichts und wieder nichts abzumühen in Schlachten, die längst geschlagen sind. Aber sowas ist ja Leuten wie dir schnurzegal (kostet ja nix, die Hilfe hier) - normalerweise wäre es DEINE verdammte Pflicht und Schuldigkeit gewesen, diese Linkinformation zu liefern, statt hier abakus "Brandmarkung" vorzuwerfen.

cinderr aktiv_icon

11:05 Uhr, 24.06.2019

Hallo Roman-22,
danke für deine Antwort. Ich habe das mal versucht mit GeoGebra zu nachzubauen, aber bekomme es noch nicht so Recht hin. Was für ein Tool hast Du dafür genutzt?

Wenn ich das Problem auf

3 D

ausweiten würde und statt dem Kreis eine Kugel um den Punkt wäre, könnte ich es dann mit den drei Teilstrecken lösen? Und wäre es dann immer noch übersbestimmt?

Roman-22

11:52 Uhr, 24.06.2019

Ich habe Mathcad benutzt - aber nicht, weil es für diesen Zweck so besonders gut geeignet wäre, sondern weil ich dieses Werkzeug gut beherrsche (und mag ;-). Aber es sollte kein Problem darstellen, das Ganze in Geogebra zu modellieren. Fertige Geogebra-Dateien, die das ebene Apollonius Problem zum Thema haben, gibt es sicher zuhauf im Netz zu finden.

Die Erweiterung des Apollonius-Problems auf drei Dimensionen erfordert sicher die Angabe einer weiteren Kugel, womit dein Problem dann nicht mehr überbestimmt wäre. Schließlich gibt es jetzt ja auch eine Unbekannte mehr zu bestimmen, nämlich die z-Koordinate des gesuchten Punkts. Sollen die vier Punkte trotzdem immer noch ein ebenes Rechteck bilden oder ein allgemeines Tetrateder?
Ich weiß jetzt aber nicht mehr auswendig, wie viele Lösungen der allgemeine 3D-Apollonius hat und auf wie viele Lösungen sich das reduziert, wenn, so wie in deinem Fall, eine Kugel zu einem Punkt degeneriert. Solltest du aber rausfinden können. Auch wird es sich auf die Anzahl bzw. Art der Lösungen (Symmetrie!) auswirken, wenn die Mittelpunkte der vier Kugeln komplanar sind (also immer noch das ebene Rechteck bilden).

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