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Dritten Punkt im rechtwinkligen Dreieck bestimmen

Schüler

Tags: Dreieick, Punkt, Rechtwinklig

Harnisch aktiv_icon

14:38 Uhr, 10.11.2014

Hallo zusammen,

ich würde gerne ein 'Eselsohr', also einen Knick in einem Blatt Papier animieren. Allerdings sind meine Schultage schon etwas länger her und ich komme momentan nicht weiter. Daher würde ich mich sehr freuen, wenn wir mir jemand die Richtung zur Lösung weisen könnte.

Ausgangssituation ist folgende, wie man auch an der Skizze erkennen kann.

Die Koordinaten der Punkte

B

und

C

sind bekannt. Ebenso sind die Seiten

a, b

und

c

bekannt. Der Winkel beim Punkt

A (α)

beträgt

90

Grad.

Die Frage ist nun, wie ich die Koordinaten des Punktes A berechnen kann?

Vielen Dank im voraus für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

15:08 Uhr, 10.11.2014

A C

und

A B

senkrecht sind, ist das Skalarpodukt

\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 0

, diese Gleichung Plus die Gleichung

∣ \vec{A C} ∣ = b

reichen schon aus.

Als Beispiel (mit einfachen Zahlen): wenn

B = (2, 1)

C = (1, 0)

und

b = 2

, dann
mit

A = (x, y)

gibt's die Gleichungen

(x - 2) (x - 1) + (y - 1) (y - 0) = 0

(das ist

\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 0

) und

(x - 1)^{2} + (y - 0)^{2} = 4

.

Und weiter gibt's nur ein Bisschen Rechnerei.

Femat aktiv_icon

15:51 Uhr, 10.11.2014

Oder mit Kreisgleichungen und lösen des Gleichungssystems

In der Zeichnung sind unter Kegelschnitt

c

Kreis um

C

d

Kreis um

B

Und die 2.Graphik zeigt wie dir wolframalpha das Gleichungssystem löst und die 2 Schnittpunkte zeigt.

Harnisch aktiv_icon

16:08 Uhr, 10.11.2014

Vielen Dank soweit, DrBoogie.

Ich habe vor das Eselsohr als eine Animation über Javascript zu zeichnen, und versuche das gerade so umzuformulieren, dass ich jeweils nur mit den

X -

Y-Werten der Punkte

B

und

C

arbeiten muss.

Wenn ich das entsprechend umformuliere, sehe das dann so aus?

(Ax−Bx)*(Ax−Cx)

+

(Ay−By)*(Ay−Cy)

= 0

(Ax−Cx)

+

(Ay−Cy) = (Bx - Cx)

Und das müsste ich dann jeweils nach Ax und Ay auflösen? Und an der Stelle hakt es leider wieder bei mir...

DrBoogie aktiv_icon

16:19 Uhr, 10.11.2014

Zweite Gleichung verstehe ich nicht.

Atlantik aktiv_icon

16:27 Uhr, 10.11.2014

Bei mir ist nun der rechte Winkel bei

C

und nicht bei A.

Es sei

c = 6 L E,

somit ergibt sich Punkt A mit

A (- 3 | 0)

und Punkt

B

mit

B (3 | 0)

.

a sei

5 L E

.

Weiter geht es mit dem Kreis um den Ursprung

U (0 | 0)

mit

r = 3 L E :

x^{2} + y^{2} = 9

. Er ist der Thaleskreis. Somit ist der Winkel

γ

bei

C

immer rechtwinklig. Es folgt der Kreis um

B (3 | 0)

mit

r = a = 5 L E :

{(x - 3)}^{2} + y^{2} = 25

Da nun

y^{2} = 9 - x^{2}

ist, folgt:

{(x - 3)}^{2} + 9 - x^{2} = 25

x^{2} - 6 x + 9 + 9 - x^{2} = 25

- 6 x = 7

x_{C} = - \frac{7}{6}

und

y_{C} = \pm \sqrt{9 - {(- \frac{7}{6})}^{2}} \approx \pm 2,76

Die gesuchten Koordinaten von

C

sind nun

C (- \frac{6}{7} | 2,76)

Der Minuswert entfällt, da

A, B

und

C

immer gegen den Uhrzeigersinn notiert werden.

mfG

Atlantik

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