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Eigenschaften von Relationen beweisen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Antisymmetrie, Funktion, Reflexität, Relation., Symmetrie, Transivität

evilcrazy aktiv_icon

22:15 Uhr, 20.11.2010

Hi!

Ich muss folgendes Beispiel lösen:

m R n \overset{}{\Leftrightarrow} m^{2} = n^{2}

Dabei soll bewiesen werden welche der folgenden Eigenschaften für obrige Relation gelten:
Reflexität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transivität

Ich hab mich zwar ein wenig in das Kapitel Realtionen eingelesen, kann aber mit der Aufgabenstellung leider nicht viel anfangen!

Ich bitte um eure Hilfe!

MFG
evilcrazy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Huy227 aktiv_icon

22:36 Uhr, 20.11.2010

Was weisst du denn über die Eigenschaften?
Was bedeuten sie?

MfG

evilcrazy aktiv_icon

22:55 Uhr, 20.11.2010

Also die Definitionen kenn ich:

Refelxivität:

\forall a \in A : a R a

Nur das müsste ja in meinem Fall bedeuten, dass m und n gleich sind? Wobei das ja nicht immer der Fall sein muss, weil es ja zwei unterschiedliche Elemente sein können. Ich hätte daher gesagt sie ist nicht reflexiv. Nur wie schreib ich sowas dann mathematisch korrekt hin?

Symmetrie:

\forall a, b \in A : a R a \Rightarrow b R a

Müsste ja theoretisch hier gelten weil wenn ich

m^{2} = n^{2}

hab. Das wäre ja wie eine Äquivalenz und da gilt ja auch

a \overset{}{\Leftrightarrow} b = a \Rightarrow b ⋀ b \Rightarrow a

und schließlich Transivität:

\forall a, b, c \in A : (a R b ⋀ b R c) \Rightarrow a R c

damit kann ich hier nicht wirklich was anfangen, weils ja um drei Elemente geht.

Huy227 aktiv_icon

23:00 Uhr, 20.11.2010

Du verstehst da grundlegend was falsch.
Reflexivität bedeutet, dass a in Relation mit a ist (für alle a). Beispiele für reflexive Relationen wären "

=

" sowie

\leq

, denn a = a und a <= a für alle a. Hingegen ist "

<

" NICHT reflexiv, da a < a nie gelten kann! Nun überprüfst du diese Eigenschaft bei deiner Relation:

m^{2} = m^{2}

?

Das mit der Symmetrie hast du richtig erfasst. Bei der Transitivität nimmst du halt noch ein drittes Element l dazu und überprüfst...

MfG

evilcrazy aktiv_icon

23:23 Uhr, 20.11.2010

Also muss man das bei der Reflexivität also für m und n einzeln beweisen? Denn wenn

m^{2} = m^{2}

dasteht, ist ja klar das sie reflexiv ist, denn wie du geschrieben hast, bedeutet das = ja das mRm gelten muss. D.h. sie ist reflexiv, und wenn ja wie schreib ich das dann korrekt an? Handelt es sich dann hierbei um eine Identische bzw. Gleichheitsrelation?

Bei Transivität würde das dann bedeuten, dass

\forall m, n, x \in R : (m R n ⋀ m R x) \Rightarrow m R x

Nachdem

m^{2} = n^{2}

ist müsste ja auch

n^{2} = x^{2}

sein. Wenn ich dann von der Symmetrie (also

m \overset{}{\Leftrightarrow} n = m \Rightarrow n ⋀ n \Rightarrow m

) ausgeh, dann heißt das ja auch, dass wenn

n^{2} = x^{2}

ist und

m^{2} = n^{2}

ist, dann müsste ja auch

m^{2} = x^{2}

gelten oder denk ich wieder falsch? ^^

Huy227 aktiv_icon

23:26 Uhr, 20.11.2010

Du musst Reflexivität doch nicht für m und n einzeln beweisen... m und n sind Elemente aus einer Menge... Du stellst fest, dass m^2 = m^2 (für alle m in der Menge) und damit hast du Reflexivität gezeigt... Für Transitivität brauchst du nicht über Symmetrie zu gehen, wenn l^2 = m^2 und m^2 = n^2, folgt doch automatisch, dass l^2 = n^2...

(Und ja, die Aufgabe IST völlig einfach und stupide, wenn man begriffen hat, was eine Relation ist und was Reflexivität etc. bedeutet.)

Richtig, es handelt sich hierbei um eine Äquivalenzrelation, da Reflexivität, Symmetrie und Transitivität erfüllt sind.

MfG

evilcrazy aktiv_icon

23:34 Uhr, 20.11.2010

Danke für die Hilfe! ;-)

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