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Ein Dreieck aus drei Streckenlängen berechnen
Universität / Fachhochschule
Tags: Dreieck, Seitenhalbierende
 
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Wenn in einem Dreieck drei Angaben bekannt sind, und sich eine Angabe nicht automatisch aus den anderen beiden Angaben ergibt, sollte man alles weitere berechnen. Dazu hatte ich kürzlich ein Rechenproblem geschrieben. Nun hab ich einen anderen, auch nicht so einfachen Fall: Von einem Dreieck sind zwei Seitenlängen, und die Länge der Seitenhalbierenden bekannt. Alle drei Linien treffen sich im Eckpunkt C. Die Seitenhalbierende teilt das Dreieck in zwei Hälften mit der gleichen Höhe und demselben Flächeninhalt. Wenn die Höhe bekannt wäre, könnte man zweimal den Satz des Pythagoras anwenden, und damit die Länge Grundseite berechnen. Aber die haben wir nicht. Ich finde momentan keinen Ansatz, was man zuerst berechnen könnte. |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Für die Seitenhalbierend gilt: . Beachte: Wegen muss der rechtsstehende Bruchterm diese Bedingungen erfüllen. |
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oder: Sei der gemeinsame Eckpunkt auf der Endpunkt Seitenhalbierende auf Länge Seitenhalbierende die Koordinaten des einen Eckpunkts: Seitenlänge dieser Dreiecksseite: a die Koordinaten des anderen Eckpunkts: Seitenlänge dieser Dreiecksseite: dann: vier Gleichungen für vier Unbekannte.... PS: Ich vermute, es gibt 2 Lösungen. |
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wurzel(h²+a²) wurzel(h²+b²) wurzel(h²+b²) wurzel(h²+c²) wurzel(c²+h²) wurzel(a²+h²) Ein Ansatz, den ich verfolge, ist zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten und aufzustellen. Es entstehen zweier quadratrische Gleichungen mit 2 Unbekannten. Man muss hier auch die richtigen Vorzeichen ermittelt. Das liegt an den Dreiecken selber: Es kommt drauf an, wo die Spitze des jeweiligen Dreiecks liegt. Die Spitze kann sich weit links, weit rechts oder irgendwo in der Mitte befinden. |
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Ich habe mein Gleichungssystem weiter aufgelöst. Da kommt EINE Lösung raus, und die ist recht kurz. :-) Hier schon rein schreiben, wäre Spaß-Verderben. Lass mich wissen, wenn du noch weiter Auflösung brauchst. |
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Kannst gerne die Lösung schreiben, oder ich mach bei meinem Ansatz weiter. Meine Gleichungen waren nicht ganz richtig. h² müsste überall abgezogen werden. müsste immer kleiner oder gleich sein. |
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sowie sind die Diagonalenlängen in einem Parallelogramm mit den Seitenlängen . Damit gilt die Parallelogrammgleichung , umgestellt . |
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in meinem Ansatz: folglich (Symmetrie): |
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Ich danke calc007 und HAL9000 für die Lösungen. Warum ich mich mit sowas beschäftige, ist: Auf YouTube gibt's einige Kanäle, die beschäftigen sich mit Matheaufgaben, oft handelt es sich um ein Dreieck. Aber die Aufgaben sind auch häufig keine Herausforderungen, die kann man oft in wenigen Sekunden lösen. Ich hab mir überlegt, wenn man 3 Werte am Anfang definiert, es gibt eigentlich recht viele Möglichkeiten. Es gibt 3 Winkel, 3 Höhen, 3 Seitenlängen, 3 mal und Radius des Innen- oder Außenkreises, den Umfang, die Fläche, Seiten- und Winkelhalbierende. Man könnte auch 'ne Teilfläche angeben, und vieles mehr. Wieviele Möglichkeiten es insgesamt gibt, lässt sich schwer berechnen oder abschätzen. Vielleicht mach ich selber ein paar Videos. Meine zwei Fälle waren nicht einfach, aber ich sollte in der Lage sein, sie selbst zu lösen. Manchmal komme ich erst später drauf, wo ich ansetzen muss. Freundliche Grüße Egon Schmid |
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Ich danke calc007 und HAL9000 für die Lösungen. Warum ich mich mit sowas beschäftige, ist: Auf YouTube gibt's einige Kanäle, die beschäftigen sich mit Matheaufgaben, oft handelt es sich um ein Dreieck. Aber die Aufgaben sind auch häufig keine Herausforderungen, die kann man oft in wenigen Sekunden lösen. Ich hab mir überlegt, wenn man 3 Werte am Anfang definiert, es gibt eigentlich recht viele Möglichkeiten. Es gibt 3 Winkel, 3 Höhen, 3 Seitenlängen, 3 mal und Radius des Innen- oder Außenkreises, den Umfang, die Fläche, Seiten- und Winkelhalbierende. Man könnte auch 'ne Teilfläche angeben, und vieles mehr. Wieviele Möglichkeiten es insgesamt gibt, lässt sich schwer berechnen oder abschätzen. Vielleicht mach ich selber ein paar Videos. Meine zwei Fälle waren nicht einfach, aber ich sollte in der Lage sein, sie selbst zu lösen. Manchmal komme ich erst später drauf, wo ich ansetzen muss. Freundliche Grüße Egon Schmid |
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Das hier könnte dich möglicherweise interessieren: www.matheboard.de/thread.php?threadid=12328 www.matheboard.de/thread.php?threadid=12329 |
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Danke, diese Links helfen auch viel weiter bei allgemeinen Dreiecksberechnungen. Was auch allgemein hilfreich ist: Man kann sich überlegen, ob man mit den Angaben das Dreieck zeichnen kann, mit Hilfe von Lineal, Zirkel und Winkel. Auch da erkennt man Verhältnisse oder Beziehungen. Aber auch nicht immer, wie im Fall mit den 3 angegeben Höhen. |
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Danke, diese Links helfen auch viel weiter bei allgemeinen Dreiecksberechnungen. Was auch allgemein hilfreich ist: Man kann sich überlegen, ob man mit den Angaben das Dreieck zeichnen kann, mit Hilfe von Lineal, Zirkel und Winkel. Auch da erkennt man Verhältnisse oder Beziehungen. Aber auch nicht immer, wie im Fall mit den 3 angegeben Höhen. |
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Konstruierbarkeit bedeutet immer auch, dass man es berechnen kann, ohne auf Approximationen zurückgreifen zu müssen. Die Umkehrung der Aussage gilt nicht, so kann man ja beispielsweise einen Winkel rechnerisch problemlos dritteln, was konstruktiv bei beliebigen Winkeln nicht gelingt. Wenn also in der Tabelle steht "unlösbar", dann heißt das in den meisten Fällen: Rechnerisch nur approximativ lösbar. In einigen Fällen mag das aber trotz Nichtkonstruierbarkeit doch auch direkt (also ohne Approximationen) möglich sein, hab da jetzt nicht den kompletten Überblick. |
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Sind die drei Höhen eines Dreiecks gegeben, so läßt sich das Dreieck konstruieren. |
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Das sollte eschmid wissen, hat ja kürzlich erst danach gefragt: www.onlinemathe.de/forum/Laesst-sich-Dreieck-bestimmen-aus-den-Hoehenangaben Die Konstruktion, die ich dazu kenne, geht so: Es wird ein Dreieck konstruiert aus drei Längen proportional zu , und , und hat man das dann, dann wird es noch passend gestreckt oder gestaucht, so dass dessen Höhenlängen hinhauen. Die Rechnung im verlinkten Thread funktioniert im Prinzip so ähnlich: Es wird mit zunächst unbekanntem die Heron-Formel auf in die Heronsche Flächenformel eingesetzt, was man dann nach umstellen kann. Diesen letzten Schritt kann man quasi als Feststellung des Proportionalitätsfaktors interpretieren, was das rechnerische Äquivalent zum letzten Schritt der Konstruktion (der Streckung/Stauchung) ist. |
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Stimmt, so geht's, wenn man vorher was berechnet. Ich dachte da, wenn man mit den Werten, die gegeben sind, versucht zu zeichnen. Man kann zwei Linien zeichnen im Abstand von . Die erste ist und die zweite ist . Die erste Kante liegt an der Y-Achse und beginnt am Nullpunkt. Dann kann man einen Kreis zeichnen, mit den einem Nullpunkt als Mittelpunkt und einem Radius . Die zweite Kante muss tangential zum Kreis sein, die Endpunkte müssen auf den zwei Linien sein. Aber weiter kam ich nicht mehr. |
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und gegeben. Man konstruiere ein Dreieck mit den Höhen als Seiten. Man konstruiere in diesem Dreieck wiederum die Höhen. Man konstruiere aus diesen Höhen wiederum ein Dreieck. Entsprechende Streckung durchführen. |
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@Mathe45 Diese Idee hat einen kleinen Schönheitsfehler: Es kann passieren, dass gar nicht die Dreiecksungleichung erfüllen - wie willst du dann aus denen ein Dreieck mit diesen Seitenlängen konstruieren??? Beispiel: Rechtwinkliges Dreieck mit , dort haben wir Fläche sowie die Höhen sowie , es gilt offensichtlich ... |
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Mit solchem "Schönheitsfehler" kann die Mathematik ganz gut leben. siehe auch Uhr, |
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Sehr interessant und aufschlussreich, wie du auf diese berechtigte Kritik an diesem fundamentalen Fehler deiner Konstruktionsidee reagierst. P.S.: Den Zeitverweis verstehe ich nicht - was soll der hiermit zu tun haben? |
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Ja, die Mathematik kann voller Überraschung sein ! |
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Der Verweis auf Konstellationen , wo kein zugehöriges Dreieck existiert, ist hier fehl am Platze: Ich habe die konkrete Konstellation genannt, zu der tatsächlich ein Dreieck existiert (nämlich das mit ), aber deine Konstruktion nicht funktioniert. Dass du das einfach so wegschiebst bzw. spottend darüber hinweggehst, ist für mich einigermaßen erstaunlich. Bisher habe ich dich für leidlich kompetent gehalten, diese Einschätzung werde ich nun korrigieren müssen. |
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Korrektur dankend akzeptiert ! |
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Das sind ein paar Formeln "rot markiert. Das heißt, sie sind nicht konstruierbar, aber eventuell dennoch eindeutig berechenbar, oder es gibt 2 Lösungen? Ich arbeite gerade an einem Dreiecksrechner, mittels JavaScript und HTML5, der auch alles am Ende darstellen kann (durch Ein- und Ausblenden) In einer Liste speichere ich alle Formeln, die ich bisher habe, mit Werten, die benötigt werden, und welcher Wert berechnet wird. (siehe 2. Bild) Der Algorithmus geht alle Formeln durch, und schaut, welche angewendet werden können, bis alles berechnet ist, oder meldet, wenn keine Formel mehr vorhanden ist. Ich hab mal ein paar gebrauchte Bücher bestellt zu Mathematik, und ein Whiteboard, das hilft mir auch, wenn ich gerade nicht weiter komme. Mal schauen, wie weit ich komme.   |
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> Das heißt, sie sind nicht konstruierbar, Ja, genau das. Aber auch im Fall Konstruierbarkeit muss diese nicht immer nur zu einem eindeutigen Dreieck führen (Beispiel sSw, also wo der Winkel nur der kleineren Seite gegeben ist). Egal, zumindest approximativ sollte alles lösbar sein - natürlich, sofern ein Dreieck mit den Parametern überhaupt existiert. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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