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Ellipse durch 2 Punkte und den Mittelpunkt

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ellipse, Ellipsengleichung, Mittelpunkt, Punkt

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14:09 Uhr, 25.09.2010

Hallo,
Gibt es einen Weg eine Ellipse auszurechen wenn ich 2 beliebige Punkte und den Mittelpunkt gegeben hab ? Ich würde gerne alle Lösungen bekommen, die es gibt (Die Ellipse kann auch gedreht werden).

Vielen Dank
David

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

m-at-he

14:55 Uhr, 25.09.2010

Hallo,

dazu muß man die Parameterform der Ellipsengleichung bemühen. Sie lautet:

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{0} + a \cdot cos (t) \cdot cos (φ) - b \cdot sin (t) \cdot sin (φ) \\ y_{0} + a \cdot cos (t) \cdot sin (φ) + b \cdot sin (t) \cdot cos (φ) \end{matrix})

Bei 2 Randpunkten

(x_{1}, y_{1})

und

(x_{2}, y_{2})

und einem Mittelunkt

(x_{0}, y_{0})

ergeben sich 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten

(t_{1}, t_{2}, φ, a

und

b) :

x_{1} = x_{0} + a \cdot cos (t_{1}) \cdot cos (φ) - b \cdot sin (t_{1}) \cdot sin (φ)

y_{1} = y_{0} + a \cdot cos (t_{1}) \cdot sin (φ) + b \cdot sin (t_{1}) \cdot cos (φ)

x_{2} = x_{0} + a \cdot cos (t_{2}) \cdot cos (φ) - b \cdot sin (t_{2}) \cdot sin (φ)

y_{2} = y_{0} + a \cdot cos (t_{2}) \cdot sin (φ) + b \cdot sin (t_{2}) \cdot cos (φ)

Dieses Gleichungssystem gilt es zu lösen. Viel Spaß dabei...

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15:29 Uhr, 25.09.2010

Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich hab jedoch noch eine Frage zu den 5 Unbekannten. Ist φ die die Rotation/Drehung ? Und entsprechen a und

b

den "selben" Strecken wie bei der normalen Ellipsengleichung (x² / a²

+

y² / b²

= 1) (a

und

b

ist der größte/kleinste "Radius" (sry, ich kenne mich nicht so gut mit den fachwörtern bei ellipsen aus)) ? Und was ist dann

t 1

und

t 2

m-at-he

15:54 Uhr, 25.09.2010

Hallo,

da

φ

offensichtlich ein Winkel ist, der für beide Randpunkte gilt, bleibt für

φ

nur der Winkel zu sein, den die große Hauptachse zur x-Achse hat. Die

t_{1}

bzw.

t_{2}

sind die Winkel, die zwischen "positiver Hauptachse" und Verbindungsstrahl Mittelpunkt-Randpunkt liegen. a und

b

sind die üblichen Bezeichnungen für die Halbachsen.

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17:32 Uhr, 25.09.2010

Hallo,
nochmals vielen Dank für die schnelle Antwort. Das ist jetzt hoffentlich meine letzte Frage dazu. Mir ist aufgefallen ,dass das a bei mir immer konstant ist(15). Ändert das etwas ?

m-at-he

20:45 Uhr, 25.09.2010

Hallo,

"Mir ist aufgefallen ,dass das a bei mir immer konstant ist(15)." - Vor der Berechnung oder als Ergebnis der Berechnungen? Im ersten Fall gibt es Dir die Möglichkeit eindeutig zu sein

(4

Gleichungen bei nunmehr nur noch 4 Variablen!), im zweiten Fall ist es einfach eines der Resultate!

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