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Ellipse und Gerade

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Ellipse, Ellipsengleichung, Folgen und Reihen, Gerade, Tangent

basaky aktiv_icon

00:35 Uhr, 04.07.2015

Hallo ich habe eine Ellipsengleichung und eine Gerade gegeben. Die Ellipse enthält einen Parameter

b

und diese muss ich so bestimmen, dass die Gerade die Ellipse berührt. Wie muss ich vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

01:23 Uhr, 04.07.2015

1)

Gerade und Ellipse haben einen gemeinsamen Punkt.

2)

Gerade ist Tangente an der Ellipse (Berührpunkt).

Falls diese Hinwiese nicht reichen, poste bitte die Originalaufgabenstellung.
LG Ma-Ma

basaky aktiv_icon

02:11 Uhr, 04.07.2015

Also soll ich die Ellipse nach

y

umformen und dann beide gleichsetzen?

Gerade:

y = - \frac{2}{3} x + 4 \sqrt{2}

Ellipse:

\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Ma-Ma aktiv_icon

02:23 Uhr, 04.07.2015

Für

1)

trifft dies zu

. .

. Du könntest natürlich auch die Geradengleichung nach

y^{2}

umformen

. .

basaky aktiv_icon

02:34 Uhr, 04.07.2015

Und wie bei

2)

? Wie bestimmt man den Berührpunkt

Ma-Ma aktiv_icon

02:36 Uhr, 04.07.2015

Wie sind denn die Steigungen von Ellipse und Gerade am Berührpunkt ? Evtl. gleich ?
(Denke zurück an die Kurvendiskussion in Klasse

11 ...)

basaky aktiv_icon

02:42 Uhr, 04.07.2015

hmm...also ich habe jetzt die Ableitungen gebildet. die lauten:

für die gerade:

= - \frac{2}{3}

und für die Ellipse:

= - \frac{b^{2}}{144} (b^{2} - \frac{b^{2}}{38} x^{2})

soll ich die jetzt gleichsetzen? oder wie bestimme ich den gemeinsamen berührpunkt

basaky aktiv_icon

02:42 Uhr, 04.07.2015

hmm...also ich habe jetzt die Ableitungen gebildet. die lauten:

für die gerade:

= - \frac{2}{3}

und für die Ellipse:

= - \frac{b^{2}}{144} (b^{2} - \frac{b^{2}}{38} x^{2})

soll ich die jetzt gleichsetzen? oder wie bestimme ich den gemeinsamen berührpunkt

basaky aktiv_icon

02:45 Uhr, 04.07.2015

also ich habe sie jetzt gleichgesetzt und bekomme und bekomme für

b = 0,3195

raus.
Ich glaube das stimmt nicht ganz...

Ma-Ma aktiv_icon

02:46 Uhr, 04.07.2015

Wenn der Anstieg gleich ist, so natürlich

f' (x) = g' (x)

.

Ich prüfe mal Deine Ableitung der Ellipsengleichung

f (x) . .

Ma-Ma aktiv_icon

02:54 Uhr, 04.07.2015

Also meine Ableitung sieht anders aus

. .

.
Am besten, Du machst das morgen (heute) im Laufe des Tages nochmal ganz langsam

. .

basaky aktiv_icon

02:55 Uhr, 04.07.2015

Kannst du mir verraten was du für die Ableitung raus hast?

basaky aktiv_icon

02:58 Uhr, 04.07.2015

nochmal für die Ableitung habe ich:

y' = - \frac{b^{2}}{144} {(b^{2} - \frac{b^{2}}{36} x^{2})}^{- \frac{1}{2}}

Ma-Ma aktiv_icon

03:06 Uhr, 04.07.2015

Ansatz:

1) f (x) = g (x)

2) f' (x) = g' (x)

- - - - - - - - - -

Ellipsengleichung umgeformt:

y^{2} = b^{2} \cdot (1 - \frac{x^{2}}{36})

y = b \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{36}}

y = \frac{b}{6} \cdot \sqrt{36 - x^{2}}

y = \frac{b}{6} \cdot {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

Kettenregel !

y' = \frac{b}{6} \cdot [\frac{1}{2} \cdot {(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x)]

usw.

. .

.

Korrektur: Ein Minus vor

2 x

eingefügt. Schusselfehler meinerseits

. .

basaky aktiv_icon

04:36 Uhr, 04.07.2015

ups..
ich habe noch eine kleine frage: Wieso

\frac{b}{6}

und nicht

6 b

? du machst ja MAL

\sqrt{36}

abakus

07:21 Uhr, 04.07.2015

Das Betrachten der Ableitungen ist zwar ein möglicher, aber kein notwendiger Weg.
Einsetzen von y=... in die Ellipsengleichung liefert eine quadratische Gleichung, die je nach Determinante keine, zwei oder oder genau eine Lösung hat.
Finde die b's, bei denen es nur eine Lösung gibt.

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