Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Erklärung zum Hornerschema sowie Plynomdivision

Erklärung zum Hornerschema sowie Plynomdivision

Schüler Berufsschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Erklärung, Hornerschema, Polynomdivision

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
UncleBens

UncleBens aktiv_icon

23:13 Uhr, 25.09.2011

Antworten
Hi Leute,
ich habe ne Frage zu einer Aufgabe die mit dem Hornerschema gelöst werden kann.
Und zwar soll ich die Gleichung:
f(x)=x3+9,5x2+13,5x-45

Mit dem Hornerschema hab ich bereits herausgefunden das die Zahl ohne x bei x=1,5 die 0 ergibt. Wieso muss überhaupt bei dem Hornerschema nacher 0 rauskommen ? Und wofür steht die -45 in der Gleichung ?
Leider weiß ich nicht wie ich weiter machen muss, da ich in der Mathestunde wo das ganze erklärt wurde sehr krank war und so gut wie nichts verstanden bzw. mitbekommen habe.

Deshalb wäre es sehr nett wenn mir jemand den weiteren Verlauf der Gleichung möglichst ausführlich erklären könnte ;-)

Übrigends wofür steht eig dieses f(x)? Müsste da nicht eigentlich y stehen ? Oder schmeiß ich da grad was mit den Geradengleichungen durcheinander ?

Ich hab mich natürlich bereits über die ganzen Fragen auch ein wenig im Internet schlau gemacht, aber das Problem ist ,dass durch die Erklärungen mit den ganzen Fachbegriffen von deren Bedeutung und deren Erklärungen wiederum ich nichts verstehe. Also geht es mir so, wie den meisten aus diesem Forum. -.-

Außerdem würde ich auch noch sehr gerne die Polynomdivision verstehen. Dazu hatten wir allerdings auch nur ein Beispiel gemacht. Und zwar ebenfalls in der Stunde, in der ich krank war.


Ich bedanke mich deshalb schon einmal im voraus für jede einzelne Antwort ;-)

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

00:26 Uhr, 26.09.2011

Antworten
Hallo,

bevor wir über das Hornerschema bzw. Polynomdivision sprechen, sollten wir auf jeden Fall darüber sprechen, was man eigentlich betrachtet und erreichen will:

Eine Funktion der Gestalt f(x)=anxn+an-1xn-1++a0 mit n und an,,a0 heißt Polynom oder besser gesagt Polynomfunktion. Ist zum Beispiel n=1, so hat der Graph der Funktion die Gestalt einer Geraden.
Ein Grund dafür, dass Polynome so interessant sind, sind die Nullstellen: Polynome können in Linearfaktoren zerlegt werden, sodass die Nullstellen direkt ablesbar sind, zum Beispiel x2-3x+2=(x-2)(x-1), sodass 2 und 1 die Nullstellen von f(x)=x2-3x+2 sind.
Wenn man also die Nullstellen einer solchen Funktion sucht, kann man genauso gut auch die Linearfaktoren suchen, aus denen das Polynom „besteht“.
Bleiben wir bei dem Beispiel von eben: Angenommen, Du hättest die Nullstelle 1 gefunden, zum Beispiel durch raten, dann ist klar: (x-1) ist ein Linearfaktor. Da das Polynom nur aus zwei Linearfaktoren besteht (n=2), wäre der andere Faktor genau x2-3x+2x-1 (einfach obige Gleichung umstellen). Wäre n3, so bliebe natürlich kein Linearfaktor, sondern ein Polynom höheren Grades übrig, aber dann kann man eben so lange fortfahren, bis man nur noch Linearfaktoren hat.
Das heißt also, wir brauchen jetzt nur noch ein Verfahren, zwei Polynome durch einander zu teilen; und das geht eben mit Polynomdivision oder eben dem Hornerschema, welches aber nur eine Kurzschreibweise von Polynomdivision ist.

Also, Polynomdivision ist eine Operation, die man mit Termen der obigen Form durchführt, aber was man damit in der Regel erreichen will, ist, Nullstellen einer Funktion f(x) zu finden.
Nochmal auf den Punkt: Die Gleichung y=mx+n beschreibt eine Gerade (Geradengleichung); die Gleichung f(x)=mx+n definiert eine Funktion (Funktionsgleichung), wobei der Graph von f eine Gerade ist.

Als Zusammenfassung solltest Du Dir folgende Fragen beantworten: Was bedeutet f(x)? Was ist ein Polynom? Was kann man mit Polynomdivision/ Hornerschema erreichen? Was hat das mit Nullstellen zu tun?

Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:31 Uhr, 26.09.2011

Antworten
Hallo,
y=-45 ist der Achsenschnittpunkt mit der y-Achse.

Alles Gute
Atlantik
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

10:34 Uhr, 26.09.2011

Antworten
y=-45 ist kein Punkt. Es gilt f(0)=-45 und daher schneidet der Graph von f die y-Achse an der Stelle y=-45.
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

14:29 Uhr, 26.09.2011

Antworten
Hallo UncleBens,
ich zeige dir mal die Polynomdivision. Diese hat von der Vorgehensweise her Ähnlichkeiten mit dem schriftlichen Dividieren

Du hast y=f(x)=x3+9,5x2+13,5x-45 uns hast schon eine Nullstelle bei x1=1,5 gefunden.
Polynomdivision:

...(x3+9,5x2+13,5x-45):(x-1,5)=x2+11x+30
-(x3-1,5x2)
=========
.............11x2+13,5x
........-(11x2-16,5x)
=============
.........................30x-45
.................... -(30x-45)
===============
..............................0
Die Funktion ließe sich jetzt umschreiben zu f(x)=(x-1,5)(x2+11x+30)

Jetzt hast du x2+11x+30 erhalten.Diesen Term musst du nun =0 setzen und erhältst als weitere Nullstellen:
x2=-5

x3=-6

f(x) ließe sich nun so schreiben:

(x-1,5)(x+5)(x+6)

Alles Gute

Atlantik







Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:
UncleBens

UncleBens aktiv_icon

16:02 Uhr, 26.09.2011

Antworten
Hi Leute,
es tut mir echt leid aber von alldem hab ich wirklich nichts verstanden.
Ich weiß überhaupt nicht was f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a0 mit n∈ℕ und an,…,a0∈ℝ das zu bedeuten hat und wofür teilweise diese Symbole überhaupt stehen.
Ich kann selbstverständlich schriftl. dividieren aber leider habe ich auch deine Erklärung nicht verstanden.
Und ich weiß auch immer noch nicht was jetzt genau das Polynom ist, wofür f(x) genau steht und was es mit den Nullstellen auf sich hat.
Wo ist denn der Unterschied zwischen einer Linearfunktion und einer Geraden ? Die Linearfunktion beschreibt diese gerade doch, also sprechen ja beide Begriffe von ein und dem selben ?
Und die Gleichung y=mx+n kenne ich auch nicht, sondern nur die Gleichung y=mx+b und dabei steht ja das b für den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.

Sorry Leute ... aber bei meinem Mathelehrer in der Realschule hab ich nicht viel über Fachbegriffe usw. erklärt bzw. beigebracht bekommen, deshalb fällt es mir wohl jetzt so schwer solche Erklärungen zu verstehen. -.-

Ich bedanke mich wieder einmal schon im voraus für jede Antwort ;-)

Mit freundlichen Grüßen
Antwort
prodomo

prodomo aktiv_icon

16:43 Uhr, 26.09.2011

Antworten
Neuer Versuch ( nicht, dass die bisherigen falsch wären, aber ich versuche es mal ab dem Kenntnisstand des Realschulabschlusses )

Wahrscheinlich hast du bisher nur Funktionsgleichungen der Form y=2x-4 oder y=x2+4x-12 oder ähnlich kennengelernt. Später geht man genauer vor: eine Funktion ist eine Zuordnung, durch die jedem Element der Definitionsmenge (das ist die Menge aller x, für welche sich der Funktionswert ausrechnen lässt) genau ein y zuordnet. Bei Funktionsgleichungen der Form y=4-xz.B. darf man keine x verwenden, die größer als 4 sind, weil dann unter der Wurzel eine negative Zahl steht, bei der Gleichung y=3x-2 ist x=2 nicht möglich, weil man dann durch 0 teilen müsste. Man schreibt solche Zuordnungen auch oft in der Form x2x-4 statt y=2x-4 oder schreibt statt y den Ausdruck f(x). Bedeutet aber alles dasselbe.

Jetzt zu f(x)=x3+9,5x2+13,5x-45. Hier darf man offensichtlich alle Zahlen für x benutzen. Wie du es hoffentlich erinnerst, kann man die zugeordneten Paare mit x und y in einem Koordinatensystem darstellen. Dann ergeben sich Geraden, (quadratische) Parabeln und später eben noch kompliziertere Grafen ( ein Graf ist kein Adliger, sondern die grafische Darstellung einer Zuordnung, manchmal auch Schaubild genannt). Bei diesen Grafen sind manche Punkte besonders interessant. Ich hänge den Grafen zu der obigen Aufgabe an. Besondere Punkte sind z.B. die, bei denen er durch die Achsen verläuft, oder die "Berggipfel" und "Täler" und schließlich der Punkt, der in der Mitte einer S-Kurve liegt. Gleich mehr !

kubische
UncleBens

UncleBens aktiv_icon

17:13 Uhr, 26.09.2011

Antworten
Die Erklärung ist schon etwas verständlicher ;-)
Bedeutet das dann das jedes x aus der Gleichung f(x)=x3+9,5⋅x2+13,5⋅x−45 einem anderem y zugeordnet ist ? Aber wenn xz.B. 1 ist trozdem jedes x in der Gleichung 1 ist oder kann das x in der Gleichung verschiedene Bedeutungen haben. Also das das erste x zb. für die Zahl 2 steht und das zweite x für die Zahl 3 und das dritte x wieder für eine andere Zahl ? Weil dann müssten die x doch unterschiedlich gekennzeichnet sein wie zb. xa oder xb oder wie ist das jetzt zu verstehen ?
Und mit dem Funktionswert ist die Zahl gemeint die für x steht ?

Ich bedanke mich selbstverständlich wieder im voraus für jede Antwort ;-)

Mit freundlichen Grüßen
Antwort
prodomo

prodomo aktiv_icon

17:46 Uhr, 26.09.2011

Antworten
Ja, für x kannst du der Reihe nach verschiedene Zahlen einsetzen. Das y dazu bekommst du dann, indem du in der Gleichung dieselbe Zahl einsetzt. Zusammen ergibt das eine Wertetabelle, die kennst du doch noch, oder ? Ich rechne es einmal für x=-6 vor
(-6)3+9,5(-6)2+13,5(-6)-45=-216+9,536-81-45 (bedenke, dass (-6)2=+36 ist)
also -216+342-81-45=0( ich habe absichtlich einen der Schnittpunkte mit der x-Achse ausgesucht)
Wenn du so eine Wertetabelle ausgerechnet hast, kannst du alle ausgerechneten Punkte eintragen (x nach rechts, y nach oben). Das ergibt dann das Bild, welches ich angehängt habe. Allerdings ist meines nach oben viel kürzer, weil ich dort einen anderen Maßstab benutzt habe, sonst wäre es zu groß geworden. Soweit ok ?
UncleBens

UncleBens aktiv_icon

21:52 Uhr, 29.09.2011

Antworten
Ich denke soweit habe ich es verstanden.
Doch eine Bitte, außer das du mir villeicht den Rest noch erklären könntest hätte ich noch. Und zwar wäre es villeicht möglich das du zu den Fachbegriffen (am besten in Klammern) die in der Mathematik fachlich festgelegten Symbole dazu schreibts ? Damit ich die direkt auch noch lerne, weil davon kenn ich eig gar keins.

Ein Danke von mir selbstverständlich wieder im voraus.

Mit freundlichen Grüßen
UncleBens

UncleBens aktiv_icon

21:56 Uhr, 03.10.2011

Antworten
Kann mir denn da keiner mehr weiterhelfen ?
Und wieso wird die Frage denn so schnell geschlossen ? Ich gehe nunmal arbeiten, in die Berufsschule und noch nebenbei 5 Tage die Woche in die Abendschule, zudem habe ich letzte Woche mehrere Klausuren geschrieben, da blieb leider keine Zeit noch zu posten ;-)

Wäre trozdem sehr nett wenn mir nochmal jemand weiterhelfen und vielleicht auch die Frage wieder aktivieren könnte ;-)

Ich bedanke mich wieder im voraus !

Mit freundlichen Grüßen
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

22:29 Uhr, 03.10.2011

Antworten
Hallo,

Du hast darum gebeten, dass wir noch über ein paar Begriffe sprechen. Im 6. Beitrag hast Du dazu Fragen gestellt und daher gehe ich jetzt erstmal darauf ein:

Polynom: Ein Polynom ist ein Ausdruck, der aus Summanden besteht, die die Gestalt axn für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n haben oder einfach selbst Zahlen sind, also so etwas wie 3x3-5x2 oder 2x+1 oder -4x7 oder einfach 5. Also genau solche Terme, die man durch Polynomdivision durch einander teilen kann. Vor allem benutzt man Polynome als Funktion, zum Beispiel f(x)=x3+9.5x2+13.5x-45.

f(x)“ und Nullstellen wurden erklärt.

Gerade/ Lineare Funktion: Polynome können, wenn man sie als Funktion ansieht und ihren Graphen (das wird mit „ph“ geschrieben!) zeichnet, die verschiedensten Formen annehmen: Die Funktion f(x)=2 hat als Graphen nur eine waagerechte Gerade mit der Höhe 2, die Funktion f(x)=x hat als Graphen auch eine Gerade, allerdings geht sie durch den Ursprung und steigt mit einem Winkel von 45° an. Beides sind Polynome, sie passen zu der Beschreibung von oben.
Es gilt allgemein, dass jede Funktion der Form f(x)=mx+n (oder b statt n - ist egal), wobei m und n beliebige reelle Zahlen sind, als Graphen eine Gerade hat (In meinem ersten Beispiel war m=0 und n=2 und im zweiten Beispiel war m=1 und n=0). Man nennt eine Funktion f(x)=mx+n eine lineare Funktion (wobei affin-linear korrekter wäre) und den Graphen einer solchen Funktion also eine Gerade. Daher hängen diese beiden Begriffe so eng zusammen.

Ist das okay? Stelle ruhig weitere Fragen!

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

23:19 Uhr, 03.10.2011

Antworten
Also ich denke das ich den unteren Teil verstanden habe, liegt wohl daran das ich diese Sache bereits kannte ;-)

Aber den oberen Teil hab ich nicht wirklich verstanden. Ich meine Summanden sind ja die beiden Zahlen die eine Summe ergeben, also handelt es sich um eine Addition aber wo das jetzt in der darauf folgenden Erklärung zu finden und zu verstehen ist, wird mir einfach nicht klar. Genauso die Sache mit dieser Form ax^n . Denn die Zahl 5 beinhaltet doch garkein n und auch kein x oder soll n dann einfach 1 sein, weil 51=5 und man lässt die 1 dann ganz einfach weg. Aber was ist mit dem x ? Ist x in diesem fall dann einfach auch 1 ?
Und schließlich was genau davon ist ein Polynom und was sind Polynome verschiedener Grade ? Ist das so ähnlich wie die 3. binomischen Formeln ? Also einfach die 3 am verbreitesten binomischen Formeln ? Nur hier die verbreitesten, nach einem Schema aufgebauten Polynome ?

Mit freundlichen Grüßen


Und danke für die schnelle Antwort ;-)
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

23:37 Uhr, 03.10.2011

Antworten
Das ist so gemeint, dass das x immer stehen bleibt und für alles andere musst Du konkrete Zahlen aussuchen. In meinem ersten Beitrag hatte ich ein allgemeines Polynom hingeschrieben: Nun suche ich mir folgendes aus: n=2, a2=2, a1=-1 und a0=3. Dann erhalte ich das spezielle Polynom 2x2-x+3. Man schreibt das so allgemein mit n und a, damit man sozusagen alle Möglichkeiten offen lässt. Der Grad des Polynoms ist einfach immer die höchste auftretende Potenz, in diesem Beispiel wäre das 2.
Noch zu der Sache mit den Summanden: Das Polynom hat 3 Summanden und jeder von Ihnen ist eine Zahl oder hat einen Vorfaktor a, ein x und eine Potenz n. Das meinte ich mit der Erklärung oben. Um zu zeigen, dass es verschiedene as und ns sein können, nummeriert man sie meistens durch, so wie ich am Anfang. Okay?

Zu den binomischen Formeln: Wenn man für a und b dort Polynome einsetzt, dann ergeben sich tatsächlich wieder Polynome. Zum Beispiel ist (x+2)2=x2+4x+4 ein Polynom oder auch (x2-x)(x2+x)=x4-x2. Das kommt daher, dass sowohl Summen als auch Produkte von Polynomen auch wieder Polynome sind.

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

00:29 Uhr, 04.10.2011

Antworten
Hm, also ,dass das x nur als Platzhalter steht ist mir klar.
Trotzdem verstehe ich noch immer nicht wo jetzt die besagten Summanden auftreten.

"Polynom: Ein Polynom ist ein Ausdruck, der aus Summanden besteht, die die Gestalt axn für eine reelle Zahl a und eine natürliche Zahl n haben oder einfach selbst Zahlen sind, also so etwas wie 3x3−5x2 oder 2x+1 oder −4x7 oder einfach 5 . Also genau solche Terme, die man durch Polynomdivision durch einander teilen kann. Vor allem benutzt man Polynome als Funktion, zum Beispiel f(x)=x3+9.5x2+13.5x−45 . "

Ist also ein Polynom immer nach der Gestalt ax^n aufgebaut und mit den Summanden sind wie z.B. wie im letzten Satz x3 (=ein Summand)+ 9,5x2 (=ein Summand)+13,5x (=ein Summand) -45(= ein Subtrahend ???) gemeint ? Und kann ein Polynom auch nur z.B. 9,5x2 sein oder wäre es dann keins ?
Und wofür stand jetzt genau die 5 ? sollte die nacher für deinen Schnittpunkt mit der y-Achse beispielhaft stehen ? Denn ansonsten bräuchte sie doch ein x also zB 5x ,oder ?
Ich bin mir einfach nicht sicher ob ich das ganze so richtig verstanden habe.

Zumindestens weiß ich jetzt schonmal das der Grad des Polynoms anhand der höchsten Potenz festgelegt wird.
Wofür brauch man den Grad des Polynoms denn ?

Vielen Dank wieder im voraus für ihre Hilfe ;-)

Mit freundlichen Grüßen
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

07:40 Uhr, 04.10.2011

Antworten
Wir können uns hier ruhig alle duzen, denke ich.

Ja, genau so ist das gemeint. Ein Subtrahent ist formal auch nur ein Summand, aber eben mit negativem Vorzeichen. Das heißt also, Dein Polynom, wie Du richtig beschrieben hast, hat 4 Summanden; dabei ist eben wichtig, dass wirklich jeder dieser Summanden die Gestalt hat, die ich beschrieben habe und das macht den ganzen Term zu einem Polynom. Die Anzahl der Summanden ist egal, es darf also auch nur einer sein und damit ist 9.5x2 auch ein Polynom.

Ein Summand eines Polynoms darf auch eine Zahl sein, d.h. ein „x“ ist nicht unbedingt nötig. Formal könnte man aber trotzdem auch ein x „hineinschummeln“, denn es ist ja 5=5x0. Die Aussage, dass jeder Summand die Gestalt axn hat, stimmt also. Da wieder ein Summand für ein Polynom ausreicht, ist auch die Zahl 5 ein richtiges Polynom.

Zum Schnittpunkt mit der y-Achse: Rechnerisch bedeutet, dass ein Punkt P(x,y) auf der y-Achse liegt, nichts anderes, als dass x=0 ist. Daher ist der Schnittpunkt des Graphen einer Funktion mit der y-Achse genau der Punkt P(0,f(0)). Wenn nun f(x) ein Polynom ist und man dort x=0 einsetzt, werden automatisch alle Summanden 0, die ein x enthalten und es bleibt nur der Summand übrig, der selbst nur eine Zahl ist. Und aus diesem Grund kann man bei einem Polynom die Schnittstelle mit der y-Achse sofort ablesen.
Beispiel: f(x)=x2-3x-2f(0)=0+0-2=-2. Also ist der Schnittpunkt mit der y-Achse P(0,-2).

Der Grad gibt uns Informationen über den Graphen: Ein Polynom 0ten Grades, also eine Zahl (wegen x0), hat als Graphen eine waagerechte Gerade, ein Polynom ersten Grades hat als Graphen eine „schiefe“ Gerade und ein Polynom zweiten Grades hat als Graphen eine Parabel. Außerdem ist bekannt, dass ein Polynom n-ten Grades (für jedes spezielle n) bis zu n reelle Nullstellen haben kann.

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

10:21 Uhr, 04.10.2011

Antworten
Das ist ja schonmal gut, dass ich das wenigstens mal verstanden habe :-)
Könntest du mir noch sagen wofür die folgenden Symbole nochmal standen ? ∈ ℕ ?
Und dann wollte ich noch Fragen ob eigentlich genau festgelegt ist, dass mit der Definitionsmenge immer der x-Wert und mit dem Funktionswert immer der y-Wert gemeint ist oder ob das auch beliebig getauscht werden kann ? Falls ich in der Klassenarbeit mal die Aufgabe bekomme die Definitionsmenge oder so auszurechnen ;-)

Wenn ich z.B. ein Polynom 2.ten Grades wie folgendes habe 9,5x² könnte ich das damit auch ganz gewöhnlich mit dem Hornerschema oder mit der Polynomdivision lösen ?

Ich denke wenn nun soweit alles klar ist, dass wir vielleicht zur eigentlichen Polynomdivision oder villeicht besser erst zum Hornerschema kommen könnten. Es sei denn ich muss noch etwas bestimmtes im voraus wissen ;-)

Vielen Dank für jegliche Hilfe ! ;-)



Mit freundlichen Grüßen
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

11:56 Uhr, 04.10.2011

Antworten
Na klar: n bedeutet nichts anderes als „n ist eine natürliche Zahl“, also n=1 oder n=2 oder usw. Dabei heißt „ist Element von“ und ist das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen. D.h. n bedeutet „n ist eine reelle Zahl“ oder „n ist ein Element der Menge der reellen Zahlen“.

Nein, das darf nicht vertauscht werden. Ist D der Definitions- und W der Wertebereich der Funktion f, so ist stets xD und y=f(x)W. Betrachten wir das Beispiel f(x)=x2. Dann kann ich für x jede beliebige Zahl einsetzen, also ist D=. Aber der Funktionswert f(x) ist stets positiv oder 0, also ist der Wertebereich kleiner: W={yy0}.

Um die Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades auszurechnen, benutzt man meistens die p-q-Formel. Ab dem Grad 3 ist Polynomdivision sinnvoll. Damit könnte man zum Beispiel die Nullstellen des Polynoms f(x)=x3-6x2+11x-6 berechnen. Das würde folgendermaßen ablaufen: Durch eine Skizze oder raten bekommen wir die Nullstelle xn1=1 heraus. Dann würde uns Polynomdivision ermöglichen, dass wir f(x)=(x-1)(x2-5x+6) herausfinden. Die anderen beiden Nullstellen von f kann man durch die p-q-Formel berechnen, indem man 0=x2-5x+6 löst.

Das Hornerschema ist eigentlich nur eine Kurzschreibweise der Polynomdivision. Wenn Du diese kannst, ist das Hornerschema nicht mehr schwierig.

Hast Du noch andere Fragen? Ansonsten würde ich in meinem nächsten Beitrag vielleicht das Beispiel von eben mal direkt berechnen. Oder soll es lieber die Funktion sein, die Du ursprünglich aufgeschrieben hattest?

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

15:11 Uhr, 04.10.2011

Antworten
Also, in dem oberen Abschnitt mit der Erklärung zum Definitionsmenge und dem Funktionswert/Wertebereich kann ich nicht so ganz folgen. Ich meine natürliche Zahlen sind alle positiven Zahlen einschließlich der 0 und wie das mit dem "Element von" und "Menge der natürlichen Zahlen" ist versteh ich nicht so wirklich. Früher, als ich noch auf der Realschule war, hab ich mich in Mathe nämlich nie so richtig mit Fachbegriffen auseinander gesetzt, sondern hab die Sachen einfach nur gerechnet (was im übrigen auch immer recht gut funktioniert hat). Aber heute wo ich mein Fachabitur im technischen Bereich anstrebe, denke ich sollte ich nun beginnen auch das zu lernen und genau zu verstehen wie die mathematischen Verfahren aufeinander aufbauen. Macht im übrigen auch ziemlich Spaß und ist auch wirklich interessant ;-)
Dieses Zeichen ℝ kenne ich z.B. auch nicht.

Dann frage ich mich noch wie du von f(x)=x3−6x2+11x−6 auf f(x)=(x−1)(x2−5x+6) kommst.
Die Sache mit ausprobieren des Definitionswertes x1=? habe ich verstanden. Dies hat uns mein Lehrer anhand einer kleinen Tabelle erklärt in dem er die Koeffizienten nebeneinander einträgt und dann mit verschiedenen x-Werten so lange probiert bis das bei der Zahl die den Y-Schnittpunkt bei x=0 eine 0 herauskommt. Weiter weiß ich leider nicht.

Kannst ruhig die Rechnung anhand deines Beispiels erklären ;-)

Und wiedermal vielen Dank für jegliche Hilfe!


Mit freundlichen Grüßen
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

19:34 Uhr, 04.10.2011

Antworten
Ich wollte nur erklären, was die einzelnen Symbole genau bedeuten. Das Symbol „“ steht eben für „ist Element von“, das Symbol „“ steht für die natürlichen Zahlen und das Symbol „“ für die reellen Zahlen. Diese beiden sind Mengen und dementsprechend ist eben eine natürliche Zahl x ein Element der Menge und dafür kann man kurz x schreiben.

Hast Du die Begriffe Definitions- und Wertebereich gut verstanden?

Darauf kommt man nicht einfach so, sondern eben durch Polynomdivision. Ich wollte oben nur darstellen, durch welche Schritte man zur Lösung kommt.

Ja, gut. Man muss diese eine Nullstelle eben irgendwie raten. Eine Tabelle wie Du sie beschreibst kann da tatsächlich helfen.

Kannst Du die p-q-Formel anwenden?

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

20:06 Uhr, 04.10.2011

Antworten
Ja, ok.

Ich denke schon das ich die Begriffe Definitionsmenge und Wertebereiche verstanden habe. Nur eben die Sache mit den Symbolen und ihren Bedeutungen war etwas unklar und neu für mich.

Ich kann die p-q-Formel anwenden, aber eig rechne ich auch ganz gerne mit der quadr. Ergänzung ;-)


Ich bedanke mich wieder im voraus für jegliche Hilfe!

Mit freundlichen Grüßen


Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

11:50 Uhr, 05.10.2011

Antworten
Okay, teilen wir also (x3-6x2+11x-6) durch (x-1).
Das Ganze läuft tatsächlich wie schriftliches Dividieren ab: Etwas nach unten holen, dieses dann durch den Term rechts teilen, das Ergebnis ganz rechts hinschreiben, dann „zurückmultplizieren“ und durch Subtraktion den Rest rausbekommen.
Aber jetzt langsam am Beispiel: Du schreibst als erste Zeile "(x3-6x2+11x-6):(x-1)=" hin. Dann holst Du am besten die ersten beiden Summanden nach unten, etwa so:

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=x3-6x2

Nun teilst Du den ersten vorderen Summanden durch den ersten Summanden des Divisors, also x3x=x2 und schreibst das ganz rechts ins Ergebnis:

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=x2x3-6x2

Jetzt müssen wir den Rest dieser ersten Division herausbekommen. Rechne rückwärts das Ergebnis x2 mal den Divisor (x-1) und schreibe dies dann links unter das Bisherige. Allerdings mit einem Minus davor, da wir es abziehen müssen. Dann kommst Du auf

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=x2x3-6x2-(x3-x2)


Jetzt führst Du die Subtraktion durch: Du rechnest x3-x3=0 und -6x2-(-x2)=-6x2+x2=-5x2. Dies schreibst Du wieder unten hin:

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=x2x3-6x2-(x3-x2)-5x2


Wenn Du diese Schritte hinbekommst, hast Du es fast geschafft, denn dann geht alles nach diesem Schema weiter. Ist das bisher erstmal alles klar?

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

10:56 Uhr, 06.10.2011

Antworten
Also ich weiß nicht wie du auf den Divisor (x-1) gekommen bist.
Außerdem verstehe ich so genau weshalb ich denn zurückmultiplizieren muss um das ganze zu subtrahieren.
Und müsste ich nicht auch den zweiten Summanden durch x teilen, sowie den ersten und zweiten Summanden noch durch -1?

Kann sein das ich da irgendwas durcheinander geworfen habe und das bereits durch das zurückmultiplizieren, diese Schritte beinhaltet, aber ist mir jetz irgendwie neu, wenn ich so an die schriftl. Division, die ich bisher immer gemacht habe denke.


Mit freundlichen Grüßen

Und vielen Dank wieder im voraus für jede Antwort !
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

17:50 Uhr, 06.10.2011

Antworten
Man teilt immer durch (x-n), wobei n die Nullstelle ist, die man erraten hat. Hier war diese eben 1.

Das Zurückmultiplizieren macht man beim normalen schriftlichen Dividieren ja auch, um den Rest zu bestimmen. Es ist zum Beispiel 22:5=4 R 2, wobei 2=22-54, und 54 ist das Produkt aus Divisor und Ergebnis.

Der Einwand, ob man nicht durch zu wenig teilt, ist völlig berechtigt, das ist erstmal komisch. Der Grund besteht aber darin, dass es sozusagen sowieso nichts bringen würde:
Wir möchten x3-6x2+11x-6x-1 haben, und das ist das Gleiche wie x3x-1-6x2x-1+11xx-1-6x-1, also können wir das Ganze formal auch Summandenweise machen: Jetzt ist es so, dass man sowieso nicht restlos x3x-1 teilen kann, sondern nur x3x. Daher geht man davon aus, dass das Ergebnis dieser Division den Summanden x2 enthält und eben noch einen Restterm R. Das heißt, wir sagen x3x-1=x2+R. Daraus folgt aber x3=(x2+R)(x-1)=x3-x2+R(x-1) und somit R=x2x-1. Wenn Du jetzt noch mal auf meine erste Umformung, das Auseinandernehmen des Ursprungsbruches, schaust, dann haben wir rausbekommen:
x3x-1-6x2x-1+11xx-1-6x-1=x2+x2x-1-6x2x-1+11xx-1-6x-1=x2-5x2x-1+11xx-1-6x-1.
Und jetzt geht es weiter, indem man diese ganze Prozedur mit -5x2 durchführt.
Du siehst also, dass die Polynomdivision eine Kurzschreibweise für das Ganze hier ist und der Grund, warum man nicht direkt durch alles teilt ist einfach, dass es sowieso nicht funktioniert…

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

20:44 Uhr, 06.10.2011

Antworten
Also ich habe mir das ganze gerade nochmal durchgelesen. Auch wie ich es mir in mein Heft geschrieben habe aber das ganze ergibt für mich einfach keinen logischen Sinn.

Dort habe ich mir folgenden Schritte aufgeschrieben:
x2-2x+1=(x-1)(x-x2)(x-x3)|:(x-1)
(x2-2x+1):(x-1)=x2+x-1 und das was hier hinter dem = Zeichen steht soll das Restpolynom sein. Dabei versteh ich rein garnicht wie mein Lehrer darauf kam. Denn wenn ich ja mit (x-1) dividiere habe ich auf der rechten Seite ja immernoch (x-x2)(xx3) und das ausmultipliziert ergibt doch keine x2+x-1. Oder soll das einfach das Ergebnis der Division sein. Denn ausmultipliziert bleiben ja 0 ?
Ich verstehe auch nicht wie er auf diese (x-1)(x-x2)(x-x3) kommt. Also wo jetzt die Herleitung dazu ist.

Das mit dem zurückmultiplizieren ist mit bei der normalen Division klar, aber hier ginge das ganze doch genau auf, also müsste ich doch eig nicht zurückmultiplizieren. Bzw. ich habe nicht verstanden wieso mit der -1 in deinem Beispiel gar nicht dividiert wird, sondern nur mit dem x.


Alles in allem ist mit da doch so manches noch unklar, aber ich hoffe du kannst mir weiterhelfen :-)

Wie immer vielen Dank im voraus!

Mit freundlichen Grüßen
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

22:54 Uhr, 06.10.2011

Antworten
Hallo,

die Idee bei der Herleitung, die Du aufgeschrieben hast, ist die folgende: Das Besondere an Polynomfunktionen ist, dass man sie immer in der Form f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-xn) schreiben kann, wobei a ein bestimmter Faktor ist (und zwar der Faktor vor dem x mit der höchsten Potenz) und (was das Wichtigste ist) x1,x2,,xn die ganzen Nullstellen der Funktion sind.

Bezogen auf das Beispiel f(x)=x2-2x+1 heißt das, dass es zwei Zahlen x1 und x2 gibt, sodass f(x)=x2-2x+1=(x-x1)(x-x2) gilt. (Der dritte Faktor ist Quatsch: die Anzahl der Faktoren ist genau der Grad des Polynoms) Nun kann man durch raten herausfinden, dass eine der Nullstellen 1 ist, also können wir einfach sagen: x1=1 und dann hat man noch x2-2x+1=(x-1)(x-x2) übrig. Daher kann man die andere Nullstelle jetzt finden, indem man die Division x2-2x+1x-1 durchführt, dann kann man diese nämlich einfach ablesen: x2.

Das Problem ist, dass x3x-1x3x-x31. Das heißt, dass man gar nicht dazu kommt, durch die -1 zu teilen, das tritt sozusagen algebraisch in der Rechnung nicht auf. Im Sinne der obigen Herleitung ist es aber sinnvoll, den Grad des Polynoms zu verringern und somit die Division x3x durchzuführen. Was dabei warum genau passiert und wie der Rest zustande kommt, habe ich oben ja beschrieben.

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

13:52 Uhr, 08.10.2011

Antworten
So, ich hab mal ein bisschen herumprobiert und ich denke das ich so gut wie alles verstanden habe. Das einzige was ich komisch finde ist das man x2-2x+1x-1 rechnen kann und dann auf x2 kommen soll. Denn x2-2x+1 ist ja schon das Ergebnis wenn ich das ursprüngliche Polynom 3. Grades x3-2x+1:(x-1) rechne. Und dann bleibt mir ja x2-2x+1=(x-x2)(x-x3). Also kann ich doch nicht noch einmal durch (x-1) teilen ,sondern es bleibt mit doch nur die p-q-Formel oder die quadratische Ergänzung weil ich ja keinen weiteren x Wert mehr habe.
Das x3-2x+1=(x-x1)(x-x2)(x-x3) ist habe ich ausprobiert und es stimmt :-) aber ich glaube, da wäre ich niemals drauf gekommen ,wenn du mir das nicht gesagt hättest ;-)

Ansonsten ist mir nur noch die Sache mit dem teilen durch -1) unklar und das dies "algebraisch" nicht auftritt.

Und wieder vielen vielen Dank für deine Hilfe! ;-)

Mit freundlichen Grüßen
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

18:21 Uhr, 09.10.2011

Antworten
Hallo,

es stimmt natürlich, dass bei x2-2x+1x-1 nichts mit „x2“ rauskommt, sondern eben x-x2, wobei x2 irgendeine reelle Zahl ist. Aber das habe ich auch nicht behauptet?!

Immer, wenn ich etwas mit „x3“ geschrieben habe, bezog sich das auf das Beispiel, das ich mir weiter oben überlegt hatte und alles mit x2-2x+1 bezieht sich auf das Beispiel Deines Lehrers, das Du vor zwei Beiträgen eingeführt hast.
Das heißt also, dass Dein Problem nur daher kommt, dass ich in meinem letzten Beitrag die beiden Absätze besser hätte trennen sollen… Sorry. Das Gute ist aber, dass Du das Problem, das dadurch entsteht, sehr schön erkannt hast.

Leider fällt mir keine Möglichkeit mehr ein, wie man sich das mit der „-1“ noch erklären könnte; für mich persönlich ist aber die direkte Berechnung, die ich vor 4 Beiträgen aufgeschrieben habe, am hilfreichsten fürs Verständnis.

Wollen wir dann mit dem Beispiel weitermachen?

Wir waren bei

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=x2x3-6x2-(x3-x2)-5x2

Jetzt geht es so weiter, wie am Anfang: Wir teilen -5x2x=-5x und können das Ergebnis schon mal rechts dazuschreiben und auch den nächsten Summanden von oben mit nach unten holen:

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=x2-5xx3-6x2-(x3-x2)-5x2+11x

Machst Du weiter?!


UncleBens

UncleBens aktiv_icon

12:52 Uhr, 10.10.2011

Antworten
Also ich dachte, dass du mit diesem Satz "x1=1 und dann hat man noch x2−2x+1=(x−1)(x−x2) übrig. Daher kann man die andere Nullstelle jetzt finden, indem man die Division x2−2x+1x−1 durchführt, dann kann man diese nämlich einfach ablesen: x2."
sagen wolltest wir können aus einem Polynom 2. Grades indem wir mit (x-x1) teilen x2 herausfinden, aber das würde doch gar nicht gehen weil ich wenn mit der p-q-Formel rechnen müsste ? Weil das ist ja jetzt noch das Beispiel meines Lehrers und nicht deins ;-)

Das mit dem -1 ist so ne Sache. Ich weiß außerdem auch nicht was algebraisch bedeutet ,aber selbst wenn ich es jetzt nicht verstehe, so versteh ich es viell später Mal.

Dein Beispiel würde ich wie folgt rechnen:

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=x2-5x+6
x3-6x2
-(x3-x2)
-5x2+11x
-(-5x2+5x)
6x-6
-(6x-6)
-------
00

Anschließend habe ich ja noch x2-5x+6. Also ein Polynom 2. Grades, welches ich mit der p-q-Formel raus bekomme.

x2,3=2,5± Wurzel 254-244
x2,3=2,5±12
x2=3
x3=2

Und es stimmt :-) (hab die Probe gemacht ;-) )

Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

13:13 Uhr, 10.10.2011

Antworten
Sehr schön, alles richtig gerechnet!

Zu den Polynomen zweiten Grades: Du hast Recht mit dem, was Du schreibst, aber der Widerspruch, den Du siehst, ist nicht da: Ein Polynom der Gestalt x2+px+q kann immer in der Form (x-x1)(x-x2) geschrieben werden, wobei x1 und x2 die Nullstellen der Funktion f(x)=x2+px+q sind. Wenn man die p-q- Formel anwendet, bekommt man x1 und x2 direkt raus. Aber wenn man aus irgendeinem Grund schon x1 kennt, dann spricht doch nichts dagegen, durch Polynomdivision x2+px+qx-x1 auszurechnen. Das Ergebnis wäre dann (x-x2). Dann hätte man also x2 gegeben.

Mit „algebraisch“ meinte ich in diesem Fall, dass wir während der ausführlichen Berechnung gar nicht auf den Term x3-1 stoßen. Also „algebraisch“ im Sinne „als Term“.

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

12:29 Uhr, 12.10.2011

Antworten
Aber in dem Beispiel das du nanntest hattest du ja einfach den x1 Wert von dem Polynom 3. Grades genommen, oder sollte das lediglich ein Beispiel für einen möglichen x1 Wert bei diesem Polynom 2. Grades sein ? Weil dann verstehe ich auch, was damit gemeint ist :-)

Wie aber geht nun das Hornerschema, jetzt wo ich die Polynomdivision verstanden habe ?


Ich bedanke mich wieder im voraus!



Mit freundlichen Grüßen
Antwort
Mauthagoras

Mauthagoras aktiv_icon

01:34 Uhr, 14.10.2011

Antworten
Achso… Es war nur Zufall, dass die beiden Polynome eine gemeinsame Nullstelle hatten, nämlich x1=1. Dann ist alles geklärt.

Beim Hornerschema lässt man das umständliche Aufschreiben einfach weg:

Du kannst einfach die Koeffizienten des eigentlichen Polynoms und die des Divisors in eine Zeile schreiben, in unserem Beispiel also

1-611-61-1.

Jetzt überlegst Du Dir, was wir eigentlich rechnen mussten, um auf den ersten Ergebniskoeffizienten „1“ zu kommen: Es war 1:1=1. Das schreibst Du einfach unter den zweiten Koeffizienten:

1-611-61-11.

Wie sind wir auf die „-5“ gekommen? Es war -6-(-1)*1=-5 (Also die Zahl über dem letzten Ergebnis minus (hinterster Koeffizient mal letztes Ergebnis).) Geschrieben einfach nur

1-611-61-11-5.

Dann das gleiche Schema: Die nächste Zahl ist 11-(-1)*(-5)=6, also

1-611-61-11-56.

Und weiter: -6-(-1)*(6)=0. Rest 0, also alles okay. Die Lösung der Division steht unten da: x2-5x+6.

Es braucht ein bisschen Gewöhnung, aber ist wirklich praktisch.

UncleBens

UncleBens aktiv_icon

12:01 Uhr, 16.10.2011

Antworten
Gut, denke das habe ich verstanden.

Mein Lehrer hat uns das ganze in Form einer Tabelle gezeigt.
Und zwar so glaub ich:

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=

x=1|1|-6|11|-6 also die Koeffizienten hinschreiben.
---------
|1|-5|6|0

Er meinte glaub ich die 1 kommt immer dahin und danach wird x (also 1) und dann wird immer die 1 (weil x=1) mit der zuvor hingeschriebenen Zahl multipliziert und im Anschluss mit der dort drüber stehenden Zahl addiert.

x=1|1|-6|11|-6
---------
|1|-5|

also erst die 1 unten hin und danach 11+(-6)=-5
anschließend dann 1(-5)+11=6 usw.

Aber wenn ich z.B. folgendes Polynom habe:
(3x3-15x2-51x+63):(x+3)

x=-3|3|15|51|63

dann komme ich nicht auf das gleiche Ergebnis, wie wenn ich es mit dem Hornerschema mache, wie du es mir gezeigt hast oder eben mit der Polynomdivision.

Ich habe dabei aber den Koeffizienten von x3 absichtlich 3 gelassen und nicht alles vorher durch 3 geteilt. (dann würde es im übrigen funktionieren ;-) )
UncleBens

UncleBens aktiv_icon

20:37 Uhr, 19.10.2011

Antworten
So, habe dies jetzt auch verstanden.
Aber nurn hänge ich bei einer etwas anderen Art der Polynomdivision.
Und zwar sehen die beiden Beispiele wie folgt aus:
(6a6+a4b+25b3):(3a2+5b)

und

(9a5b3-12a3b5):3a3b3

Könnte mir die vielleicht noch jemand aufühlich vorrechnen ? Denn ich weiß wirklich nicht, wie ich das ganze miteinander verrechnen soll.

Mit freundlichen Grüßen


Und wieder einmal ein Dankeschön für jede Hilfe im voraus ! ;-)
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.