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Ermittelen der Fallgeschwindigkeit

Schüler , 10. Klassenstufe

Tags: Formel

christi999 aktiv_icon

14:08 Uhr, 30.09.2011

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich einer Bonusaufgabe einer Klassenarbeit.

Geschwindigkeit beim dritten fünftel.

Ich habe die Informationen herausgesucht:

Sitzplätze

40

Fahrzeit

77

Sekunden

Max. Höhe

103 m

Fallhöhe

71 m

Max. Geschwindigkeit

98,3

km/h

Ich habe diese Aufgabe zwar verstanden, allerdings keine Formel gehabt, mit der man das ausrechnet.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Viele Grüße
Christi999

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

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DmitriJakov aktiv_icon

14:16 Uhr, 30.09.2011

v = \frac{s}{t}

dürfte Dir bekannt sein :-)

vielleicht hängt es an dieser Formel:

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}

christi999 aktiv_icon

14:34 Uhr, 30.09.2011

So weit so gut, aber wie rechne ich das jetzt für das dritte fünftel aus?

Aurel

14:37 Uhr, 30.09.2011

3. Fünftel: von

\frac{71}{5} \cdot 2 m

bis

\frac{71}{5} \cdot 3 m

s = \frac{g}{2} \cdot t^{2} \Leftrightarrow

t = \sqrt{2 \frac{s}{g}}

Δ t = \sqrt{2 \cdot \frac{\frac{71}{5} \cdot 3}{9,81}} - \sqrt{2 \cdot \frac{\frac{71}{5} \cdot 2}{9,81}} = ... .

christi999 aktiv_icon

14:43 Uhr, 30.09.2011

Puh... das sieht sehr kompliziert aus. Kannst du mir das kurz erklären?

Vielen Dank für die schnellen Antworten.

Aurel

14:51 Uhr, 30.09.2011

Ausgehend von

s = \frac{g}{2} \cdot t^{2}

erhält man durch Umstellen

t = \sqrt{2 \frac{s}{g}},

also die Zeit für das Durchfallen der Wegstrecke

s

die Zeit für das Durchfallen der Wegstrecke bis

\frac{71}{5} \cdot 3 m

minus der Zeit für das Durchfallen der Wegstrecke bis

\frac{71}{5} \cdot 2 m

ist die gesuchte Zeit

Δ t = \sqrt{2 \cdot \frac{\frac{71}{5} \cdot 3}{9,81}} - \sqrt{2 \cdot \frac{\frac{71}{5} \cdot 2}{9,81}} = ... .

christi999 aktiv_icon

14:53 Uhr, 30.09.2011

Vielen Dank ich hab es verstanden.

Grüße
Christi999

christi999 aktiv_icon

15:32 Uhr, 30.09.2011

Obwohl... wie ist den jetzt der genaue Rechenweg?

christi999 aktiv_icon

16:01 Uhr, 30.09.2011

Achtung ich rede vom freien Fall!

DmitriJakov aktiv_icon

16:17 Uhr, 30.09.2011

Aurel hat hier den echten freien Fall genommen, indem er die Beschleunigung

9,81 \frac{m}{s^{2}}

verwendet hat. Nachdem ich die Beschleunigng des Fahrgeschäfts nun nachgerechnet habe, muss man hier eine Einschränkung machen: Der "freie" Fall ist alles andere als frei :-)

Nachdem Du aus den Angaben aus der Webseite die Aufgabe errechnen sollst brauchen wir also als erstes die Beschleunigung. Die Angaben dazu sind: Fallhöhe

71 m,

maximale Geschwindigkeit:

98,3

km/h

Ausgehend von der Formel

s = \frac{1}{2} a \cdot t^{2}

musst Du zunächst mal nach

t

auflösen, denn das hast Du nicht gegeben:

t = \sqrt{2 \frac{s}{a}}

Nach Ablauf dieses

t

ist die Geschwindigkeit:

v = a \cdot t

. Für

t

setzt Du den eben gefundenen Term ein:

v = a \cdot \sqrt{2 \frac{s}{a}}

das ergibt quadriert:

v^{2} = a^{2} \cdot 2 \cdot \frac{s}{a} = 2 \cdot a \cdot s

aufgelöst nach a:

a = \frac{1}{2} \cdot \frac{v^{2}}{s}

Nun kannst Du die Beschleunigung des Fahrgeschäfts auf den

71

Metern "freien" Fall errechnen. Die Geschwindigkeit von

98,3 \frac{k m}{h}

muss durch

3,6

dividiert werden, damit man auf

\frac{m}{s}

kommt:

a = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{98,3}{3,6} \frac{m}{s})}^{2}}{71 m} = 5,25 \frac{m}{s^{2}}

Das Fahrgeschäft hat also etwas mehr als die halbe Erdbeschleunigung, was bei den Fahrgästen die Illusion des freien Falls erzeugt, diese aber nicht gefährdet und trotz der langen Fallstrecke von

71

Metern während der restlichen

32

Meter sicher abbremsen kann.

Nun kannst Du die Rechnung von Aurel mit diesem Wert für a fortsetzen: Berechne mit

s = \frac{1}{2} a \cdot t^{2}

die Zeit für den Fall während der ersten

\frac{71}{5} \cdot 2

Metern. Dann rechne die Zeit für die ersten

\frac{71,5}{5} \cdot 3

Metern. Die Differenz ist die Zeit während des dritten Fünftels des "freien" Falls.

christi999 aktiv_icon

16:29 Uhr, 30.09.2011

Das Problem ist, ich sehe nicht wo

v, a

und

t

gegeben sind (im dritten fünftel). Wie kann ich die für diesen Bereich ausrechnen.

DmitriJakov aktiv_icon

16:46 Uhr, 30.09.2011

Du hast eine Fallhöhe von

71

Metern gegeben. Die Aufgabe verlangt nun von Dir, dass Du diese

71

Meter im 5 Abschnitte unterteilst und die Zeit berechnest, die man für das Durchfallen des dritten (mittleren) Abschnitts benötigt.

Jede Abschnitt ist also

\frac{71}{5} = 14,2

Meter lang. Wenn man nun 2 Abschnitte gefallen ist, also

s_{1} = 2 \cdot 14,2

Meter=

28,4

Meter, dann braucht man dafür eine bestimmte Zeit. Diese kann man mit der Formel

s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}

ausrechnen. Du hast

s_{1}

gegeben

(= 28,4 m)

und Du hast a ausgerechnet

(5,25 \frac{m}{s^{2}})

. Jetzt muss Du nur noch nach

t

auflösen um die Zeit zu berechnen, zu dem Du deine Stoppuhr startest:

t_{1} = \sqrt{2 \frac{s_{1}}{a}} = \sqrt{2 \cdot \frac{28,4 m}{5,25 \frac{m}{s^{2}}}} = 3,29 s

Zum Zeitpunkt

t_{2}

erreichst Du das Ende des drittet Fünftels, bist also insgesamt dann

s_{2} = 3 \cdot 14,2 m = 42,6

gefallen. Zu diesem Zeitpunkt

t_{2}

stoppst Du Deite Stoppuhr wieder:

t_{2} = \sqrt{2 \frac{s_{2}}{a}} = \sqrt{2 \cdot \frac{42,6 m}{5,25 \frac{m}{s^{2}}}} = 4,03 s

Den mittleren Abschnitt durchfällt man also in

4,03 - 3,29 = 0,74

Sekunden

Du siehst, dass Du bei dieser Endrechnung nur

s

und a benötigst. Die Geschwindigkeit brauchst Du nicht, könntest sie aber nun mit diesen Werten für

t_{1}

und

t_{2}

ausrechnen, wenn Du die Formel

v = a \cdot t

verwendest. Das ist aber nicht mehr Teil der Frage.

Aurel

17:02 Uhr, 30.09.2011

Ja, tatsächlich DimitriJakov hat Recht, die Beschleunigung ist um einiges kleiner als

g :

a = \frac{v^{2}}{2 s} = \frac{{(\frac{98,3}{3,6})}^{2}}{2 \cdot 71} = 5,25 \frac{m}{s^{2}}

Daher

Δ t = \sqrt{2 \cdot \frac{\frac{71}{5} \cdot 3}{5,25}} - \sqrt{2 \cdot \frac{\frac{71}{5} \cdot 2}{5,25}} = 0,74 s

DmitriJakov aktiv_icon

17:11 Uhr, 30.09.2011

Wobei ich leider erst jetzt auf die Wikipedia Seite des Fahrgeschäfts gegangen bin

. .

. dort stehen dann andere Daten:
http//de.wikipedia.org/wiki/Scream_(Soltau)
Und noch genauer hier:
http//www.mathias-arp.de/scream-01-inhalt.html

Dort steht:
Strecke freier Fall:

38 m

Maximale Geschwindigkeit:

98

km/h

Damit ergibt sich ein neues a:

a = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(\frac{98}{3,6} \frac{m}{s})}^{2}}{38 m} = 9,75 \frac{m}{s^{2}}

Also doch nahezu perfekter freier Fall.

Aurel

17:14 Uhr, 30.09.2011

XDD

also ist die Bezeichnung Freefall Tower doch (ziemlich) berechtigt :-)

christi999 aktiv_icon

17:19 Uhr, 30.09.2011

Okay, nun bin ich ganz verwirrt. Könnt ihr bitte -nur- den Rechenweg so einfach wie möglich posten? Wo sind die Daten die ihr jetzt benutzt habt? Bei Wikipedia oder auf dieser anderen Seite?

Vielen Dank schon einmal das ihr mir helft.

Aurel

17:25 Uhr, 30.09.2011

a = \frac{v^{2}}{2 s} = \frac{{(\frac{98,3}{3,6})}^{2}}{2 \cdot 38} = 9,75 \frac{m}{s^{2}}

Daher

Δ t = \sqrt{2 \cdot \frac{\frac{71}{5} \cdot 3}{9,75}} - \sqrt{2 \cdot \frac{\frac{71}{5} \cdot 2}{9,75}} = 0,54 s

DmitriJakov aktiv_icon

17:26 Uhr, 30.09.2011

Jepp, und dass man sich bei mathematischen Aufgaben auch recht schnell in den freien Fall begibt, wenn man keine genauen Daten bekommt :-D)

Selbst in Wikipedia ist im Kasten rechts die Fallhöhe mit

71

Meter angegeben, obwohl das die gesamte Fahrstrecke ist, inklusive der Bremsstrecke.

@christi:
Sehe gerade, dass Du inzwischen wieder gepostet hast. Die Links zu den Daten findest Du bei meinem letzten posting, ein Stückchen weiter oben.

Ich habe NICHT die Wikipedia Daten verwendet, sondern dann die Daten aus: www.mathias-arp.de/scream-01-inhalt.html

Der Rechenweg ist noch der selbe, wie er bei mir und bei Aurel war. Nur die Daten haben sich jetzt verändert.

Teile nun die Fallhöhe von

38 m \in 5

gleiche Teile à

7,6

Meter. Rechne mit der Dir nun bekannten Formel die Zeit nach

2 \cdot 7,6 = 15,2

Metern und nach

3 \cdot 7,6 = 22,8

Metern aus. Verwende dabei für a ruhig die

9,75 \frac{m}{s^{2}},

die ich oben errechnet habe.

christi999 aktiv_icon

17:50 Uhr, 30.09.2011

Ein Freund hat diesen Rechenweg benutzt ist auf einen anderes gestoßen was ist falsch?

Formeln

v = g \cdot t

Fallhöhe (in

s

angegeben)

71 m

v = g \cdot s \cdot 2

(Wurzel ziehen)

h \frac{3}{5} = h : 5 \cdot 3

a =

v²

: 2 s

Gesucht

t

(drittes fünftel) = Falldauer(ohne Reibung)

Gegeben

g = 9,81

h = 71

Rechnung
Alle oberen 3 Fünftel

h \frac{3}{5} = 71 : 5 \cdot 3 = 42.6

v = 9.81 \cdot 42.6 \cdot 2 (

Wurzel ziehen)

= 28.91041335 \frac{m}{s}

a =

28.91041335²

: 2 \cdot 42.6 = 9.806

DmitriJakov aktiv_icon

18:03 Uhr, 30.09.2011

Bis auf einen Tippfehler in der zweiten Formel sind das jetzt eigentlich genau die selben Schritte, wie von Aurel und mir.

Die 2. Formel muss lauten:

v^{2} = g \cdot s \cdot 2

Aber bei der Rechnung kommt Dein Freund nicht auf die Frage zu sprechen. Er beantwortet völlig andere Fragen. Er errechnet zum Beispiel die Geschwindigkeitnach

\frac{3}{5}

der Fallstrecke. Und

28,91 \frac{m}{s}

sind bereits

104

km/h, was bereits jetzt mehr als die angegebene Höchstgeschwindigkeit ist.

Dass danach dann a ausgerechnet wird, das man eine Zeile vorher verwendet hat, das erschliesst sich mir nicht. Es ist nicht falsch, aber es ergibt keinen Sinn.

Kurz und gut: Dein Freund ist noch lange nicht so weit, wie Du bereits jetzt bist. Dein Freund hat keine Antwort auf die Frage, während Du sogar 2 Lösungsalternativen hast, je nach dem welche Daten Du zugrunde legst.

(71 m

Fallhöhe und

5,25 \frac{m}{s^{2}}

Beschleunigung oder:

38 m

Fallhöhe und

9,75 \frac{m}{s^{2}}

Beschleunigung)

christi999 aktiv_icon

18:15 Uhr, 30.09.2011

Vielen Dank
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