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Existiert ein eindeutiges Polynom?

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom, Polynom Grad, Punkt, vorgegeben

Kajuhahu aktiv_icon

12:17 Uhr, 10.02.2016

Hallo,
Ich habe 2 Fragen und konnte nirgends eine Antwort finden. Vielleicht kann mir hier ja jemand helfen.
Die erste Frage, müsste nur mit wahr oder falsch zu beantworten sein.
"Es Existiert ein polynom

p (x) 4

. Grades, welches durch die 5 vorgegebenen Punkte (xi,yi),i

= 1

bis 5 geht"
Kann man das als wahre Aussage bezeichnen?
Die andere Frage geht eher in Richtung Numerische Mathemathik.
"Integriert die

\frac{3}{8}

Regel Parabeln exakt?"
FÜr Antworten bin ich sehr dankbar
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

12:23 Uhr, 10.02.2016

Es kommt auf die Lage der Punkte. Wenn die Punkte auf einer Gerade liegen, die parallel zu

y

-Achse verläuft, dann offensichtlich nicht. (Es gibt nicht mal ein Polynom, das durch

(0, 0)

und

(0, 1)

geht).

Und ich weiß nicht, was

3 / 8

-Regel ist.

Edddi aktiv_icon

12:24 Uhr, 10.02.2016

. .

. zur 2. findest du hier konkrete Antwort:

http//www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a2/07/vorl12_ana.pdf

und zur 1. noch eine äquivalente Deutung zu DrBoogie:

5 gegebene Punkte auf der x-Achse würde ja 5 Nullstellen entsprechen, was ja offenbar eine Gleichung 4. Grades nicht hat.

;-)

anonymous

12:29 Uhr, 10.02.2016

Zur Frage 'exisitiert ein Polynom 4.Grades durch 5 Punkte'.
Ich wage zu präzisieren:
Im allgemeinen: ja. Ich würde die Frage mit 'wahr' beantworten.
Ausnahme sind nur, wenn für identische unabhängige Variablen

(x_{i})

widersprüchliche abhängige Variablen

(y_{i})

benannt sind.
DrBoogie hatte schon das Beispiel benannt, wenn an der Stelle

x = 0

zwei widersprüchliche y-Werte benannt sind.

DrBoogie aktiv_icon

12:31 Uhr, 10.02.2016

Ja, beim Polynom durch

5

Punkte ist die Aussage: "wahr, wenn

x_{i}

paarweise verschieden". Siehe hier: de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation

Kajuhahu aktiv_icon

12:32 Uhr, 10.02.2016

OK, Danke für eure schellen Antworten.
Also laut der PDF Datei, wäre die

\frac{3}{8}

Regel für alle polynome

n < 3

exakt.
Parabeln wären mit

x^{2}

ja dabei?
Habe ich das richtig verstanden?
Und mit dem Polynom bin ich mir noch nicht ganz im klaren.
Angenommen ich hätte dabei dann die Punkte

(1,1), (2,2), ...

. bis

(5,5)

und ein Polynom 4. Grades, dann ist es schon möglich, dass ich beispielsweise mit Matlab ein Polynom für diese Punkte interpoliere, aber woher weiß ich, dass nur EIN eindeutiges Polynomexistiert?

DrBoogie aktiv_icon

12:35 Uhr, 10.02.2016

"Habe ich das richtig verstanden?"

Ja.

"Angenommen ich hätte dabei dann die Punkte (1,1),(2,2),.... bis (5,5) und ein Polynom 4. Grades, dann ist es schon möglich, dass ich beispielsweise mit Matlab ein Polynom für diese Punkte interpoliere, aber woher weiß ich, dass nur EIN eindeutiges Polynomexistiert?"

Es existiert nicht immer ein Polynom vom exakt Grad

4

(z.B. in diesem Fall nicht), nur ein Polynom vom Grad HÖCHSTENS

4

. Und es ist eindeutig. Siehe den Link auf Wiki von mir. In diesem Fall ist das eindeutige Polynom

p (x) = x

Bummerang

12:39 Uhr, 10.02.2016

Hallo Edddi,

"5 gegebene Punkte auf der x-Achse würde ja 5 Nullstellen entsprechen, was ja offenbar eine Gleichung 4. Grades nicht hat."

f (x) = 0 \cdot x^{4} + 0 \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x + 0

ist ein Polynom vierten Grades, welches mit Sicherheit durch diese 5 Nullstellen geht! Sind die

x_{i}

paarweise verschieden und sind die dazugehörigen Funktionswerte alle gleich

(z . B

. alle gleich Null),

d . h

y_{1} = y_{2} = y_{3} = y_{4} = y_{5} = : y,

ergibt sich als Lösung des Gleichungssystems, das aus dem Ansatz

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e

gewonnen wurde:

a = b = c = d = 0, e = y

Kajuhahu aktiv_icon

12:41 Uhr, 10.02.2016

Ok Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Das Polynom wäre dann also

P (x) = 0 \cdot x^{4} + 0 \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{2} + x + 0

DrBoogie aktiv_icon

12:46 Uhr, 10.02.2016

"ist ein Polynom vierten Grades"

Streng genommen nicht. Nullpolynom hat Grad

- \infty

(siehe de.wikipedia.org/wiki/Polynom). Was nicht größer als

4

ist, aber eben nicht exakt

4

.
Daher ist auch die Frage, ob in der Aufgabe wirklich um Polynome vom Grad exakt

4

die Rede ist oder vom Grad höchstens

4

DrBoogie aktiv_icon

12:48 Uhr, 10.02.2016

Verstehe die Frage nicht. Nullpolynom geht doch nicht durch

(1, 1)

Kajuhahu aktiv_icon

12:51 Uhr, 10.02.2016

Das Polynom, dass ich geschrieben hab ist ja kein null Polynom. sondern quasi Px=x
In der Aufgabenstellung steht, "ob eindeutig ein Polynom

p (x) 4

. Grades existiert, welches durch die 5 vorgegebenen Punkte (xi,yi)

i = 1, ... 5

geht "

DrBoogie aktiv_icon

13:49 Uhr, 10.02.2016

Ah, sorry, hab übersehen, dass bei

x

kein

0

steht.
Ja,

p (x) = x

geht durch die Punkte

(1, 1)

(2, 2)

,...,

(5, 5)

und das ist das einzige Polynom des Grades

\leq 4

mit dieser Eigenschaft.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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