Exponentialfunktionen

Hi,

also eigentlich lautet die Formel für exponentielles Wachstum so:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)*{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Du kannst die Buchstaben natürlich benennen wie du möchtest aber von der Struktur her, lautet sie so (wobei das e die Eulersche Zahl - keine beliebige Variable ist!).

Wobei f(t) der Wert nach einer bestimmten Zeit ist, f(0) der Anfangswert und t die Zeit, bzw. k der Wachstums-/Zerfallsfaktor.

In der Angabe hast du nun die Halbwertszeit eines Stoffes mit 4 Tagen gegeben, das heißt, dass nach 4 Tagen, nur noch die Hälfte des Anfangswertes da sind. Wenn du diese Daten in die Formel einsetzt, kannst du den Wachstumsfaktor berechnen:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)*{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(4\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)*\frac{1}{2}}$ (weil du ja den halben Anfangswert hast)

$$\begin{gathered} {\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)=\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right)*{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\parallel :\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(0\right) \\ \frac{1}{2}={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}} \end{gathered}$$

Diese Gleichung musst du nun logarithmieren:

${\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{1}{2}\right)=4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

ln(e) = 1 -->

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{1}{2}\right)=4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-0,173286795} \end{gathered}$$

Diese Zahl speicherst du am besten für die weitere Rechnung in deinem Taschenrechner, da sonst gröbere Rundungsfehler entstehen!

Jetzt hast du a) den Wachstumsfaktor.

Kommst du jetzt weiter?

Das e ist die Eulersche Zahl und wie Pi eine fixe mathematische Konstante mit 2,71828 usw.

Die Wachstums- bzw. Zerfallsfunktion ist einfach mit dieser Konstante definiert. (Sonst könntest du das ganze nicht rechnen, weil du eine Variable zu viel hast)