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Exponentielles Wachstum Salmonellen

Schüler

Tags: e-Funktion, Exponentialaufgaben, Exponentielles Wachstum, Funktionsterm, Salmonellen, Wachstum, Wachstumsprozess

LouisaRue aktiv_icon

16:39 Uhr, 20.02.2014

Vor mir liegt die Aufgabe: "in nicht durchgegarten Frikadellen befinden sich

800

Salmonellen keime, diese haben sich in 4 Stunden auf über

3000000

vermehrt. Berechnen sie, wann

1600, 3200, 6400

Salmonellen vorhanden sind. Was fällt auf?"
Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte, wie ich die Verdopplungszeit herausfinden könnte. Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

16:45 Uhr, 20.02.2014

Wie sieht denn dein Ansatz aus ?

LouisaRue aktiv_icon

16:56 Uhr, 20.02.2014

Also wir hatten bislang ausgerechnet wie man das Anwachsen der Salmonellen von

800

auf

3000000

Keime in 4 stunden durch einen funktionswert mit der Basis

e

beschrieben kann.

N (t) = a \cdot e^{k} \cdot t

T = 0 : 800

3000000 = 800 \cdot e^{k} \cdot 4

\frac{30000}{8} = k \cdot 4

Ln(30000/8)=k*4

\frac{1}{4} ln (\frac{30000}{8}) = k

K = 2,06

Eva88 aktiv_icon

17:02 Uhr, 20.02.2014

Die 4 gehört mit in den Exponenten.

y = a \cdot e^{4 \cdot k}

3750 = e^{4 k}

ln (3750) = 4 k

k = 2,05737778

Was musst du dann machen ?

LouisaRue aktiv_icon

17:06 Uhr, 20.02.2014

Ja jetzt das was oben Bereichts steht ich muss die verdopplungszeit ausrechnen um rauszufinden wann

16003200 & 6400

keime vorhanden sind

Eva88 aktiv_icon

17:12 Uhr, 20.02.2014

Wenn du dir eine kleine Tabelle anlegst, siehst du das nacg

12

mal verdoppeln

3276800

Keime vorhanden sind.

12

mal verdoppeln in 4 Stunden bedeutet alle

20

Min oder

\frac{1}{3}

Stunde ist die Verdopplungszeit.

y = 800 \cdot 2^{3 t}

1600

nach 20min.

3200

nach

40 min

.

usw.

LouisaRue aktiv_icon

17:33 Uhr, 20.02.2014

Danke :-)

aleph-math aktiv_icon

02:19 Uhr, 21.02.2014

Gu. Abend!

D. Aufg. ist auf EINE Weise gelöst, ich möchte gern einen ANDERE Weg zeigen, der kürzer & desh. einfacher (zumind. m.M.) ist. Ich sag immer, so lang als mögl. bei/in d. Formel bleiben & diese entwickeln, da kürzt sich oft 'was weg (Vereinfachg.!) u. wenn nicht, wird d. eigt. Rechn. genauer.

D. "zuständige" Formel hier ist:

N (t) = N_{0} e^{k t}

; N0 Anfangsmenge, k Wachst.konst.

1) Mit 2 bekannten Mengen ergibt sich d. Konst. ganz einfach:

\frac{N (4)}{N_{0}} = e^{k 4} \Rightarrow 4 k = \ln (N_{4} / N_{0}) \Rightarrow

k = 0, 25 \ln (N_{4} / N_{0}) = 0, 25 \ln (3.1 0^{4} / 8) = 2, 0574

.
Das ist d.gleiche Ergeb. wie vorher, auf 4 Dez. (das genügt!) gerund.

2) Soweit nicht viel Neues, das kommt jetzt.. ;-) -> Statt Wertetab. (muß zusätzl. gerechnet werden!) Formel anwenden, wie ob. gesagt (bei Td hat sich d. Menge grad verdoppelt, was übrigens d. Halbwertszeit beim (radioakt.) Zerfall entspricht..) :

\frac{2 N}{N} = e^{k T_{D}} \Rightarrow \ln 2 = k T_{D} \Rightarrow

T_{D} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0, 6932}{2, 057} = 20, 2197 \approx 20, 22

(min).

Das ist kurz & bündig (u. m.M. nicht schwer) d. (exakte) Verdopp.zeit (~20'13"), was um 13" mehr ist als eure Lösg., was mir nicht ganz einleuchtet, weil eine Tab. prinzip. auch richtig ist, wenn sie exakt(!) ist; vmtl. war sie das nicht :( D. rel. Fehler ist

ε_{r} \approx 1.1 %

; das ist scheinb. wenig, kann aber in manchen Fällen zu viel sein (wenn zB. ein bestimmtes Limit nach 4,94h statt 5h überschritten wird, sind das 3,30 min unnötige Angst, Hektik & sonst was). Also immer genau rechnen!

D. Genauigk. v. 20,22' reicht wahrsch. aus, (noch) genauer wird's jedoch, wenn man d. Formel f. k einsetzt:

T_{D} = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{0, 25 \ln (N_{4} / N_{0})} = \frac{4 \ln 2}{\ln (30000 / 8)} = 20, 2145

(min).

D. relative Fehler zu 20,22' ist dann

ε_{r} = + 0, 027 %

bei 2 Stellen &

ε_{r} = + 0, 026 %

bei 4 Stellen. Das ist nicht viel, aber es gelten d. selben Überleg. wie oben.

Aber viell. bin ich zu präzise.. ;( Alles Gute!

** Edit: Fehlerbetrachtg. neu formuliert.. -GA

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