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Extremwert mit Nebenbedingung

Schüler

Tags: Extremwert, halbkreis, zwei Rechtecke

Stuhlbein aktiv_icon

15:01 Uhr, 30.09.2025

Hallo.

Ich muss in einen Halbkreis mit Radius

r = 10

zwei Rechtecke so einschreiben, dass sie aufeinander stehen und die Summe der Flächen der Rechtecke maximal wird. Die Grundseite des unteren Rechtecks liegt dabei auf der Grundseite (=Durchmesser) des Halbkreises.

Es gibt also vier Variablen: jeweils Grundseite und Höhe der beiden unterschiedlich großen Rechtecke.
Durch zweimalige Anwendung des Pythagoras kann ich die Zielfunktion auf zwei Variablen reduzieren und komme zu folgender Zielfunktion:

z = (b) \cdot {400 - 4 {[b + {(100 - 0,25 c^{2})}^{0,5}]}^{2}}^{0,5} + c {(100 - 0,25 c^{2})}^{0,5}

Ich kann diesen Term zwar (so eben noch) partiell nach jeweils

b

und

c

ableiten, aber die beiden entstandenen Ableitungen nicht mehr nach Null auflösen, weil sie zu unhandlich geworden sind.
Gibt es eine bessere Lösung, um dieses Problem anzugehen?

VG Stuhlbein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

18:06 Uhr, 30.09.2025

Welche Hilfsmittel sind denn zur Lösung der Aufgabe zugelassen?
Ich hätte die halben Rechteckbreiten als Variablen verwendet, dann würdest du dir die Faktoren

0,25

ersparen. Wirklich einfach wirds damit aber auch nicht.
Die exakte symbolische Lösung zu finden wird vermutlich in der Tat 'zu Fuß' recht schwierig sein, aber ein TR mit entsprechender numerischer Lösungsfähigkeit könnte doch schnell die Lösungen

b \approx 3,249

und

c \approx 17,013

mit der maximalen Flächensumme von ca.

123,6

ausgeben.
Und mit einem CAS sollte man sogar auf die exakten

b = 2 \cdot \sqrt{25 - 10 \sqrt{5}}

und

c = 2 \cdot \sqrt{50 + 10 \sqrt{5}}

kommen. Daraus ergibt sich dann

a = 2 \cdot \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}

und

d = \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}

und die Flächensumme

100 \cdot (\sqrt{5} - 1)

.

Es fällt auf, dass die beiden Rechtecke ähnlich sind und dass

\frac{a}{2} = d

gilt. Allerdings fällt mir ad hoc keine stichhaltige Begründung ein, die rechtfertigen würde, das von Anfang an voraus zusetzen.

Ein alternativer Ansatz könnte über die beiden in der Zeichnung eingetragenen Hilfswinkel

0 \leq α \leq β \leq \frac{π}{2}

führen. Man hätte von Beginn an nur zwei Variable aber das zu lösende Gleichungssystem dürfte kaum einfacher ausfallen.

Woher stammt denn diese Aufgabe?

calc007

00:26 Uhr, 01.10.2025

Hallo
Möglicherweise ist der folgende Ansatz ein wenig zugänglicher, wenn auch kaum.
Ich fürchte, Richtung CAS oder numerischer Lösung führt auch der:

\frac{c}{2} = \sqrt{r^{2} - d^{2}}

\frac{a}{2} = \sqrt{r^{2} - {(b + d)}^{2}}

Jetzt empfehle ich Normierung:

A = \frac{a}{r}; B = \frac{b}{r}; C = \frac{c}{r}; D = \frac{d}{r}

Dann:

\frac{C}{2} = \sqrt{1 - D^{2}}

\frac{A}{2} = \sqrt{1 - {(B + D)}^{2}}

Fläche/(r^2)

= D \cdot C + B \cdot A = 2 \cdot D \cdot \sqrt{1 - D^{2}} + 2 \cdot B \cdot \sqrt{1 - {(B + D)}^{2}}

Maximum-Suche,

d . h

. Ableitungen Null setzen, die lassen sich durchaus noch brauchbar händeln:

1 .)

dFläche/dB

= 0 = 2 \cdot \sqrt{1 - {(B + D)}^{2}} - 2 \cdot B \cdot \frac{B + D}{\sqrt{1 - {(B + D)}^{2}}}

bissel schütteln, rühren, vereinfachen führt zur gemischt-quadratischen Gleichung:

0 = D^{2} + 3 \cdot B \cdot D + 2 \cdot B^{2} - 1

der man auch noch recht praktikabel die positive Lösung ansieht:

D = \frac{\sqrt{4 + B^{2}} - 3 \cdot B}{2}

PS_2:

B = \frac{\sqrt{8 + D^{2}} - 3 \cdot D}{4}

2 .)

dFläche/dD

= 0 = 2 \cdot \sqrt{1 - D^{2}} - 2 \cdot D \cdot \frac{D}{\sqrt{1 - D^{2}}} - 2 \cdot B \cdot \frac{B + D}{\sqrt{1 - {(B + D)}^{2}}}

bissel schütteln, rühren, vereinfachen:

0 = (1 - 2 \cdot D^{2}) \cdot \sqrt{1 - {(B + D)}^{2}} - B \cdot (B + D) \cdot \sqrt{1 - D^{2}}

Jetzt könnte man die erste Gleichung in die zweite Gleichung einsetzen,
(und hätte nur noch eine (unansehliche) Gleichung mit einer Unbekannten

' B')

.
Auch ich hatte darin weniger Hoffnung als jetzt in einem Tabellenkalkulationsprogramm

>

mit der Größe

B

mal "spielen"

>

aus der ersten Gleichung hieraus das zugehörige

D

berechnen,

>

und guggen, wo somit die zweite Gleichung erfüllt ist,

>

kurz gesagt numerische Lösungsverfahren...

Ich komme so genauso wie Roman zu:

B = 0.32492

D = 0.52573

(Maximal-) Fläche

= 1.23607 \cdot r^{2}

PS:
Na ja, ne Nacht drüber schlafen, dann mag man vielleicht die zweite Gleichung noch ohne Wurzeln darstellen 'behübschen':

0 = 4 \cdot D^{6} + 8 \cdot B \cdot D^{5} + (3 \cdot B^{2} - 8) \cdot D^{4} - 2 \cdot B \cdot (4 + B^{2}) \cdot D^{3}

+ (5 - 3 \cdot B^{2} - B^{4}) \cdot D^{2} + 2 \cdot B \cdot (1 + B^{2}) \cdot D + (B^{4} + B^{2} - 1)

Vielleicht was für CAS, aber wirklich williger sieht das für mich Normalsterblichen auch nicht aus.

Stuhlbein aktiv_icon

17:46 Uhr, 01.10.2025

Danke euch für die Antworten!

Ich gucke mir die Rechnungen die nächsten Tage in Ruhe an.

Meine Hoffnung war, dass ich vielleicht so etwas wie einen Lagrangemultiplikator verwenden kann, um damit den Term zu vereinfachen.

Wir haben in der Schule zuerst zwei Rechtecke in ein gleichschenkliges Dreieck (statt Halbkreis) eingeschrieben. Das war noch relativ einfach, weil nur Geraden verarbeitet werden müssen. Eine erweiterte Übungsaufgabe vom Lehrer war jetzt die oben beschriebene. Ich muss mir die Lösungsvorschläge erst in Ruhe angucken, bevor ich antworten kann, meine aber verstanden zu haben, dass es ohne TR nicht ganz einfach wird.

VG Stuhlbein

HAL9000

14:43 Uhr, 02.10.2025

Vorab eine Entschuldigung: Ich habe mir keinen der vorhergehenden Beiträge tiefergehend angeschaut - ich will nur einen Zugang skizzieren, der mit Kenntnissen von Extremalaufgaben mit nur einer Variablen und ohne Nebenbedingungen auskommt:

Zunächst mal betrachte man das ganze o.B.d.A. im Einheits-Halbkreis - die Betrachtung eines allgemeinen

r

bringt außer zusätzlicher Schreibarbeit keinen Erkenntnisgewinn.

Da ist unten ein Rechteck mit den Maßen

2 a \times b

und dort draufgesetzt ein Rechteck mit den Maßen

2 c \times (d - b)

, zu maximieren ist dann der Gesamtflächeninhalt

2 a b + 2 c (d - b)

unter den Nebenbedingungen

a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2} = 1

und

b \leq d

.

Als erstes kann man

a, c

eliminieren und bekommt Flächeninhalt

2 b \sqrt{1 - b^{2}} + 2 (d - b) \sqrt{1 - d^{2}}

. Bei festem

0 < b < 1

wird der Ausdruck maximal, wenn

g (d) := (d - b) \sqrt{1 - d^{2}}

maximal wird, das erfordert

g ʹ (d) = \sqrt{1 - d^{2}} - \frac{d}{\sqrt{1 - d^{2}}} (d - b) \overset{!}{=} 0

, was umgestellt

2 d^{2} - d b - 1 = 0

bedeutet, mit Lösung

d = \frac{b + \sqrt{b^{2} + 8}}{4}

.

Dies in die obige Flächenformel eingesetzt ist demnach zu maximieren die Funktion

f (b) = 2 b \sqrt{1 - b^{2}} + \frac{1}{8} (\sqrt{b^{2} + 8} - 3 b) \sqrt{16 - {(b + \sqrt{b^{2} + 8})}^{2}}

gültig für

0 \leq b \leq 1

.

Wird wohl eklig in der Ableitung und führt (hoffentlich) dann zu der von Roman geposteten Lösung (habe ich mir jetzt aber nicht angetan).

EDIT: Vermutlich ist es besser, wenn man nicht

d

, sondern stattdessen

b

via

b = 2 d - \frac{1}{d}

eliminiert - weniger Wurzeln! In dem Fall geht es dann wohl um

h (d) = 2 (2 d - \frac{1}{d}) \sqrt{1 - {(2 d - \frac{1}{d})}^{2}} + 2 (\frac{1}{d} - d) \sqrt{1 - d^{2}}

, gültig für

d \geq \frac{1}{\sqrt{2}}

,

sieht wirklich etwas angenehmer aus. ;-)

Roman-22

16:33 Uhr, 02.10.2025

>

sieht wirklich etwas angenehmer aus. ;-)
Mag sein, aber das Lösen der nullgesetzten Ableitung von

h (d)

nach

d

führt auf sechs Lösungen

von denen nur eine die Forderung

d > \frac{1}{\sqrt{2}}

erfüllt.

Ohne entsprechende elektronische Hilfe vermutlich schwierig zu finden, auch wenn sich die Gleichung vermutlich auf eine kubische reduzieren lässt.

Die Lösung stimmt mit meiner Lösung überein, denn dein

d

entspricht ja mit den Bezeichnern, die der Threadersteller eingeführt hatte, dem Ausdruck

b + d,

also der Summe der beiden Rechteckhöhen.

Stuhlbein aktiv_icon

12:41 Uhr, 03.10.2025

Danke schön noch einmal für eure Antworten. Ich brauche länger, um sie würdigen zu können, bin in Mathe nur Durchschnitt. Wir sollten uns übrigens an der Lösung der Aufgabe ohne CAS versuchen. Das Ergebnis gibts hoffentlich in der kommenden Woche. Vermutlich soll gezeigt werden, dass die Aufgabe ohne Rechner nicht lösbar ist, etwas anderes kann ich mir jetzt nicht vorstellen. Immerhin ist das ja auch schon einmal etwas.

Roman-22

15:44 Uhr, 03.10.2025

Naja, ein CAS liefert die exakte Lösung, also mit Wurzeln, Brüchen, etc.
Für eine numerische (Näherungs-)Lösung reicht vielleicht ein einfacherer Rechner mit einer "solve" Funktion.
Möglicherweise überrascht euch euer Lehrer aber auch mit einem cleveren Kniff, auf den wir hier eben nicht gekommen sind ;-)
Melde dich einfach wieder, wenn du Näheres weißt.

Stuhlbein aktiv_icon

19:40 Uhr, 06.10.2025

Wir haben heute die Aufgabe besprochen. Abgesehen davon, dass sich nur wenige die Mühe gemacht hatten, sich mit der Aufgabe auseinanderzusetzen, ist sie ohne CAS nicht zu Fuß lösbar. In ein Dreieck lassen sich beliebig viele aufeinander gestapelte Rechtecke einschreiben, nicht aber in einen Kreis. Hier explodieren die Ableitungen, sobald mehr als ein Objekt eingeschrieben werden soll. Das sollte mit der Aufgabe verdeutlicht werden.
Vielen Dank an alle, die mir behilflich waren!!

calc007

19:48 Uhr, 06.10.2025

Na ja, naheliegender als 'CAS' sind ja - wie angesprochen - numerische Lösungswege. Das ist ja heutzutage wo jeder einen Computer zu Hause (oder gar Hosentasche) hat längst nicht mehr 'Hexenwerk'.
Aber alles gut... :-)

Randolph Esser aktiv_icon

02:43 Uhr, 11.10.2025

Zu Maximieren:

F (α, β) = (sin (α) \cdot cos (α) + sin (β) \cdot cos (β) - cos (β) \cdot sin (α)) \cdot 2 \cdot r^{2}

mit

0 \leq α \leq β \leq \frac{π}{2}

(und hier

r = 10)

.

Da

F

stetig und die Definitionsmenge kompakt ist und

F (0, 0), F (0, \frac{π}{2}), F (\frac{π}{2}, \frac{π}{2})

keine Maxima sind

(einfache elementargeometrische Betrachtung),

ist die notwendige Bedingung

(0,0) = D f (α, β)

= ({cos (α)}^{2} - {sin (α)}^{2} - cos (β) \cdot cos (α), {cos (β)}^{2} - {sin (β)}^{2} + sin (β) \cdot sin (α)) \cdot 2 \cdot r^{2}

mit

0 < α < β < \frac{π}{2}

auch hinreichend.

Wolfram Alpha spuckt dafür

α \approx 0,553574, β \approx 1,01722

aus,

womit sich

F (α, β) \approx 123,607

ergibt.

1591774

1591730

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