Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Extremwertaufgabe

Extremwertaufgabe

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Fläche, maximales Volumen, Zylinder

Antworten

Neue Frage stellen

Im Forum suchen

Neue Frage

tiger93

tiger93 aktiv_icon

14:59 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Aus 1200cm² Blech soll ein zylindrischer, oben offener Behälter maximalen Volumes geformt werden. Welche Maße

r

und

h

erhält der Zylinder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

15:02 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Hauptbedingung:

V (r; h) = π r^{2} h \to max

Nebenbedingung:

π r^{2} + 2 π r h = 1200

Löse nun die Nebenbedingung nach

h

auf und ersetze dann in der Hauptbedingung.

tiger93

tiger93 aktiv_icon

15:09 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Wie kommst du auf die Nebenbedingung? ..

V=Pi*(Pi*r²+2*Pi*r/1200)*r²

richtig?

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

15:12 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Es handelt sich um einen oben offenen Zylinder. Bei diesem gehört die Grundfläche, welche sich über

π r^{2}

und die Mantelfläche, welche sich über

2 π r h

berechnen lässt zur Oberfläche. Und die Oberfläche soll ja

1200 c m^{2}

sein

(1200 c m^{2}

Blech vorhanden). Daher

π r^{2} + 2 π r h = 1200

als Nebenbedingung. Aufgelöst nach

h

ergibt sich allerdings

h = \frac{1200 - π r^{2}}{2 π r} = \frac{600}{π r} - \frac{1}{2} r

tiger93

tiger93 aktiv_icon

15:19 Uhr, 17.05.2010

Antworten

ups, falsch umgeformt..

aber was bringt mir das jetzt in die Hauptbedingung einzusetzen? Also dann kann ich ja immernoch nicht auflösen .. ?

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

15:32 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Nachdem du das eingesetzt hast, bleibt nur noch eine Variable übrig und du kannst ableiten, Null setzen etc. (Maximum suchen)

tiger93

tiger93 aktiv_icon

15:35 Uhr, 17.05.2010

Antworten

habe einen grafiktaschenrechner und kann dort direkt das Maximum suchen. Habe dann rausbekommen

x = 4,5989 y = 47840,608

. .

. stimmt das? kommt mir ziemlich komisch irgendwie vor. :-)

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

15:41 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Ich hab jetzt auf die schnelle

r = \frac{20}{\sqrt{π}} \approx 11,28

rausbekommen.

tiger93

tiger93 aktiv_icon

15:43 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Ich muss doch das

r

in die 2. Abbleitung eigentlich noch einsetzen oder?

tiger93

tiger93 aktiv_icon

15:45 Uhr, 17.05.2010

Antworten

AH, quatsch. sorry..

Also ich habe Lösungen bekommen und deine ist richtig. Nur ich komm nicht auf

r

. Wie leite ich denn diese Gleichung ab? Ich weiß

z . B

nicht wie ich

Π

ableite. ?

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

15:51 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Stell doch nun erst einmal die richtige Volumensgleichung auf. Also nachdem du

\frac{600}{π r} - \frac{1}{2} r

eingesetzt hast.

tiger93

tiger93 aktiv_icon

15:56 Uhr, 17.05.2010

Antworten

V = Π \cdot (\frac{600}{Π} \cdot r^{- 1} - \frac{1}{2} \cdot r) \cdot r^{2}

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

15:59 Uhr, 17.05.2010

Antworten

1. Du musst "pi" klein schreiben damit es zu

π

wird. "Pi" wird nämlich zu diesem hässlichen Tisch hier:

Π

2. Jetzt kannst du die Volumensfunktion noch ausmultiplizieren und vereinfachen

Frage beantwortet

tiger93

tiger93 aktiv_icon

16:09 Uhr, 17.05.2010

Antworten

habe jetzt so umgeformt:

V = \frac{π}{2} \cdot r^{3} + 600 r

Jetzt mache ich die 1. Ableitung und setze sie 0.

V' = - 3 \cdot \frac{π}{2} \cdot r^{2} + 600

habe nach

r

aufgelöst und komme auch auf

11,28

.
:-))
Danke für deine Geduld !

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

16:10 Uhr, 17.05.2010

Antworten

Richtig, nur dass es am Anfang

V = - \frac{π}{2} r^{3} + 600 r

heißen muss. Aber war wohl nur ein Abschreibefehler.

761944

761882