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Extremwertaufgabe Halbkreis Trapez

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Basiswinkel, Differentiation, Extremwertaufgabe, Flächeninhalt, halbkreis, Trapez

83gp-de aktiv_icon

12:40 Uhr, 29.09.2010

Hallo,
"Einem Halbkreis wird ein Trapez einbeschrieben, dessen eine Grundlinie der Halbkreisdurchmesser ist. Bestimmen Sie den Basiswinkel des Trapezes so, dass der Flächeninhalt des Trapezes möglichst groß wird."

Also, ich habe mir schon eine Skizze gemacht und weiß wie das aussieht. Nur mit den Formel die ich habe, kann ich irgendwie nichts anfangen..

Trapez:

A = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h

Halbkreis:

A = \frac{π}{2} r^{2}

dabei entspricht

a = d = 2 r

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis
Raute / Drachenviereck / Trapez

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

13:31 Uhr, 29.09.2010

Als erstes stellst du mal die Flächenfunktion des Trapezes auf.

A = \frac{a + b}{2} \cdot h

da ja

a = 2 r

gegeben ist, sind also noch

b

und

h

freie Parameter, die die Fläche bestimmen.

A = \frac{2 \cdot r + b}{2} \cdot h

Dabei ist aber

b

von

h

bzw. umgekehrt voneineander abhängig (Nebenbedingung)

Über Pythagoras ist:

r^{2} - h^{2} = {(r - \frac{2 \cdot r - b}{2})}^{2}

r^{2} - h^{2} = {(r - (r - \frac{b}{2}))}^{2}

r^{2} - h^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2}

4 \cdot (r^{2} - h^{2}) = b^{2}

2 \cdot \sqrt{r^{2} - h^{2}} = b

...dies kann nun oben in dei Flächenformel eingesetzt werden:

A = \frac{2 \cdot r + 2 \cdot \sqrt{r^{2} - h^{2}}}{2} \cdot h

A = (r + \sqrt{r^{2} - h^{2}}) \cdot h

...nun kannst du Extremwert für

h

berechnen über:

A' (h) = 0

wenn du dann

h

hast, ist die Berechnung des Phasenwinkels kein Ding mehr:

tan (φ) = \frac{h}{\frac{2 \cdot r - b}{2}} = \frac{2 \cdot h}{2 \cdot r - 2 \cdot \sqrt{r^{2} - h^{2}}} = \frac{h}{r - \sqrt{r^{2} - h^{2}}}

;-)

83gp-de aktiv_icon

14:26 Uhr, 29.09.2010

Also das mit dem Satz des Pythagoras verstehe ich noch nicht so ganz. Kannst du dazu vllt eine Zeichnung machen?

Edddi aktiv_icon

14:32 Uhr, 29.09.2010

...kommt sofort...in 2 Minuten

..da is' es...

;-)

83gp-de aktiv_icon

16:27 Uhr, 29.09.2010

Danke, jetzt ist mir das klar.

Ich habe für

A' (h) = r - {(r - h)}^{- 2} \cdot 2

stimmt das?

Edddi aktiv_icon

07:37 Uhr, 30.09.2010

...nö!

A = r + \sqrt{r^{2} - h^{2}} \cdot h

A = r \cdot h + h \cdot \sqrt{r^{2} - h^{2}}

A = r \cdot h + \sqrt{r^{2} \cdot h^{2} - h^{4}}

A' = r + (\sqrt{r^{2} \cdot h^{2} - h^{4}})'

A' = r + \frac{(r^{2} \cdot h^{2} - h^{4})'}{2 \cdot \sqrt{r^{2} \cdot h^{2} - h^{4}}}

A' = r + \frac{2 \cdot r^{2} \cdot h - 4 \cdot h^{3}}{2 \cdot \sqrt{r^{2} \cdot h^{2} - h^{4}}}

A' = r + \frac{2 \cdot r^{2} \cdot h - 4 \cdot h^{3}}{2 \cdot h \cdot \sqrt{r^{2} - h^{2}}}

A' = r + \frac{2 \cdot r^{2} - 4 \cdot h^{2}}{2 \cdot \sqrt{r^{2} - h^{2}}}

A' = r + \frac{r^{2} - 2 \cdot h^{2}}{\sqrt{r^{2} - h^{2}}}

r + \frac{r^{2} - 2 \cdot h^{2}}{\sqrt{r^{2} - h^{2}}} = 0

r \cdot \sqrt{r^{2} - h^{2}} + (r^{2} - 2 \cdot h^{2}) = 0

r \cdot \sqrt{r^{2} - h^{2}} = - (r^{2} - 2 \cdot h^{2})

r^{4} - h^{2} \cdot r^{2} = r^{4} - 4 \cdot r^{2} \cdot h^{2} + 4 \cdot h^{4}

4 \cdot h^{4} - 3 \cdot r^{2} \cdot h^{2} = 0

h^{2} \cdot (4 \cdot h^{2} - 3 \cdot r^{2}) = 0

...den RTest allein, und Probe nicht vergessen!

;-)

83gp-de aktiv_icon

19:02 Uhr, 30.09.2010

Ich muss ja jetzt aus dieser Gleichung

h

in Abhängigkeit von

r

bestimmen, oder?
Dann bekomme ich für

h = \sqrt{\frac{3}{4}} r

Aber was fange ich damit an?
Wo setze ich das ein?

Edddi aktiv_icon

07:16 Uhr, 01.10.2010

...genau!

r

ist ein Parameter!!!!

Da die der Radius nicht bekannt ist, kannst du natürlich auch keine absolute Höhe

h

für das Trapez angeben, sondern nur ein

h

in Abh. von

r!

Was man sofort sieht ist der lineare Zusammenhang.

h ~ r

Damit kannst du natürlich ohne weiteres einen absoluten Winkel bestimmen, da dann das Verhältnis der Höhe

h

und der Differenz aus

(2 \cdot r - b)

konstant sein sollte.

Es ergibt sich, wie ich oben schon beschrieb:

tan (φ) = \frac{h}{r - \sqrt{r^{2} - h^{2}}}

mit deinem Ergebnis

h = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot r

ergibt sich dann:

tan (φ) = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \frac{r}{r - \sqrt{r^{2} - {(\sqrt{\frac{3}{4}} \cdot r)}^{2}}}

tan (φ) = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \frac{r}{r - r \cdot \sqrt{1 - \frac{3}{4}}}

tan (φ) = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{1 - \sqrt{\frac{1}{4}}}

tan (φ) = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

tan (φ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} \cdot 2

tan (φ) = \sqrt{3}

φ = ...

;-)

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