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Extremwertaufgabe Rechteck im Halbkreis maximieren

Schüler Realgymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, Fläche, halbkreis, Maximal, Rechteck

yumyumeater aktiv_icon

20:30 Uhr, 12.02.2024

Philipp möchte aus einem halbkreisförmigen Karton mit dem Radius

r

ein Rechteck so ausschneiden, dass eine Seite des Rechtecks auf dem Durchmesser des Halbkreises liegt. Wie muss er die Länge

l

und die Breite

b

wählen, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist?

Ich weiß schon wie man extremwertaufgaben löst mit Hauptbedingung und Nebenbedingungen aber ich komm einfach auf nix sinnvollesschafft es wer von euch zu lösen?

WhatsApp Bild 2024-02-12 um 20.28.48_f860089b

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

23:21 Uhr, 12.02.2024

" Ich weiß schon wie man extremwertaufgaben löst mit Hauptbedingung und Nebenbedingungen "

A (l, b) = l \cdot b

r^{2} = b^{2} + \frac{l^{2}}{4}

pivot aktiv_icon

00:41 Uhr, 13.02.2024

Hallo,

maximiere

A_{▫} = \sqrt{r^{2} - x^{2}} \cdot x

mit

x

als Variable.

Dann ist

x^{*} = \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{l}{2}

Somit ist

l^{*} = \sqrt{2} r

. Mit Hilfe von Pythagoras kann man dann

b^{*}

bestimmen.

Gruß
pivot

HAL9000

11:13 Uhr, 13.02.2024

Einige dieser "geometrischen Extremalprobleme" sind auch analysisfrei zu bewältigen, hier z.B. so: Mit Pythagoras

r^{2} = b^{2} + \frac{l^{2}}{4}

folgt für den Inhalt der grauen Fläche

A = l b = b^{2} + \frac{l^{2}}{4} - {(b - \frac{l}{2})}^{2} = r^{2} - {(b - \frac{l}{2})}^{2} \leq r^{2}

,

und jener Maximalwert

A = r^{2}

wird genau dann erreicht, wenn

b = \frac{l}{2}

. Die erwähnte Pythagorasgleichung ermöglicht dann auch die Bestimmung von

b, l

in jenem Maximumfall.

HJKweseleit aktiv_icon

13:33 Uhr, 13.02.2024

Das Problem lässt sich sogar fast rechnungsfrei mit Hilfe von 5 Bildchen lösen (s. Abbildung):

Bild 1: Spiegelung des Halbkreises mit einem beliebigen Rechteck am Durchmesser.
Das obere Rechteck ist genau dann maximal, wenn das doppelte (Gesamtrechteck) maximal wird.

Bild 2: Zerlegung des Doppelrechtecks in zwei kongruente Dreiecke.
Das Doppelrechteck = Doppeldreieck ist genau dann maximal, wenn eines der Dreiecke maximal wird.

Bild 3: Die Teilungslinie ist aus Symmetriegründen ein Durchmesser. Dieser ist als Grundlinie des Dreiecks anzusehen. Einzeichnen der Höhe senkrecht zum Durchmesser.

Der Flächeninhalt wird maximal, wenn die erlaubte Höhe maximal wird, wenn also der Endpunkt der Höhe maximalen Abstand von der Grundlinie hat. Das ist aus Symmetriegründen genau dann der Fall, wenn der Fußpunkt der Höhe im Kreismittelpunkt = Mitte des Durchmessers liegt (rote Linie).

Bild 4: Dann sind die beiden Hypothenusen (grün) gleich lang, und das Dreieck ist ein halbes Quadrat.

Bild 5: Fazit: Das Doppeldreieck = Doppelrechteck hat maximale Fläche, wenn es ein Quadrat ist. Also ist das Ausgangsrechteck maximal, wenn es ein halbes Quadrat ist (bzw. von der Form her ein Doppelquadrat).

Jetzt noch mit Pythagoras Breite x ermitteln.

Randolph Esser aktiv_icon

02:25 Uhr, 16.02.2024

Die maximale Fläche ist

4 sin (a) cos (a) r^{2}

für ein

a \in [0, \frac{π}{2}]

.

Kurvendiskussion:

0 = (sin (a) cos (a))' = {cos (a)}^{2} - {sin (a)}^{2} \Rightarrow a = \frac{π}{4},

(sin (a) cos (a))'' = - 4 cos (a) sin (a)

und

- 4 cos (\frac{π}{2}) sin (\frac{π}{2}) = - 2 < 0

.

Also ist

b = \frac{l}{2} = cos (\frac{π}{2}) r = \frac{1}{\sqrt{2}} r

zu wählen.

Die maximale Fläche ist dann

2 {(\frac{1}{\sqrt{2}} r)}^{2} = r^{2}

Mathe45

11:46 Uhr, 16.02.2024

@yumyumeater
Du hast schon vor längerer Zeit Antworten auf deine Anfrage erhalten ( siehe Respon, pivot

),

trotzdem gibt es von dir noch keine Reaktion.
Sollte es keine weiteren Fragen dazu mehr geben, dann beende deinen Thread mit einer abschließenden Bemerkung.

Randolph Esser aktiv_icon

13:46 Uhr, 16.02.2024

Die maximale Fläche ist natürlich

2 sin (a) cos (a) r^{2}

für ein

a \in [0, \frac{π}{2}]

und nicht

4 sin (a) cos (a) r^{2}

für ein

a \in [0, \frac{π}{2}],

scusi...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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