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Extremwertaufgaben

Schüler

Tags: Flächeninhalt, Oberfläche

Horstina aktiv_icon

20:07 Uhr, 09.03.2011

Hallo ich brauche bitte Hilfe...
Ich suche eine Lösung für folgende Aufgabe: Eine Schachtel Streichhölzer hat folgende Maße: Länge 5 cm, Breite

3,5

cm, Höhe

1,2

cm.
Welche Maße müsste dei Streichholzschachtel haben, damit sich bei gleichem Volumen ein minimaler Materialverbrauch ergibt?

Soweit bin ich schon:
Gesucht ist

O

minimal: O=2ab+2ac+2bc
Gegeben ist:

V = 3,5 \cdot 5 \cdot 1,2 = 21

ich finde einfach nur keinen anderen Zusammenhang um die Ableitung bilden zu können.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt

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DmitriJakov aktiv_icon

20:10 Uhr, 09.03.2011

a, b

und

c

stehen doch auch irgendwie im Zusammenhang mit dem Volumen, oder ;-)

a \cdot b \cdot c = V = 21

Horstina aktiv_icon

20:13 Uhr, 09.03.2011

Aber ich suche ja die minimale Oberfläche mit anderen Größen für a und

b

und

c,

und nur dem gleichen Volumen.

DmitriJakov aktiv_icon

20:18 Uhr, 09.03.2011

Richtig, und

V = 21 = a \cdot b \cdot c

ist eine Nebenbedingung. Das blöde hier ist, dass Du keine der drei Variablen richtig isolieren kannst. Geh mal diese Denkrichtung: Du erschlägst einfach zwei Variablen, indem Du sagst: ich optimiere jetzt erstmal das Verhältnis Höhe zu Grundfläche. Und erst anschliessend daran dann das Seitenverhältnis der Grundfläche.

Horstina aktiv_icon

20:21 Uhr, 09.03.2011

Was würdest du denn jetzt genau machen?

Ich steh nämlich voll auf dem schlauch...

Shipwater aktiv_icon

20:32 Uhr, 09.03.2011

Steht in der Aufgabenstellung nicht zufällig "bei gleichem Volumen und gleicher Länge"?
Ansonsten wäre das wohl der Würfel mit

a = b = c = \sqrt[3]{21} c m

Horstina aktiv_icon

20:45 Uhr, 09.03.2011

Leider steht das nicht in der Aufgabe

: (

Shipwater aktiv_icon

20:50 Uhr, 09.03.2011

Dann musst du wohl einfach davon ausgehen, dass dies bei dem Würfel der Fall ist.
Hier hat schonmal jemand geschrieben warum die Aufgabe so problematisch gestellt ist:
http//www.onlinemathe.de/forum/Die-minimale-Oberfl%C3%A4che-einer-Streichholzschachtel

Horstina aktiv_icon

20:55 Uhr, 09.03.2011

Das Problem ist, dass die Aufgabenstellung nichts der gleichen hergibt. Dank dir trotzdem :-)

Atlantik aktiv_icon

08:23 Uhr, 10.03.2011

Hallo Horstina,

die Zielfunktion heißt

O=2ab+2ac+2bc ( soll minimal werden)

Gegeben ist:

V = 3,5 \cdot 5 \cdot 1,2 = 21

wobei

a = 3,5; b = 5

und

c = 1,2

ist.
Ich sehe jetzt die Länge des gesuchten Körpers

a = 3,5

als festen Bestandteil an.
Dann gilt für die Zielfunktion:

O = 7 \cdot b + 7 \cdot c + 2 \cdot b \cdot c

und für die Nebenbedingung

V = 3,5 \cdot b \cdot c = 21

3,5 \cdot b \cdot c = 21

löse ich nach

b

auf

b = \frac{21}{3,5 \cdot c} = \frac{6}{c}

Das setze ich in die Zielfunktion

O = 7 \cdot b + 7 \cdot c + 2 \cdot b \cdot c

ein und erhalte

O (c) = \frac{42}{c} + 7 \cdot c + 12

O (c) = \frac{42 + 7 \cdot c^{2} + 12 \cdot c}{c}

O´(c)=

\frac{(14 \cdot c + 12) \cdot c - (42 + 7 \cdot c^{2} + 12 \cdot c) \cdot 1}{c^{2}}

O´(c)=

7 \cdot c^{2} - 42

7 \cdot c^{2} - 42 = 0

c = \sqrt{6}

b = \frac{6}{\sqrt{6}}

b = \sqrt{6}

Alles Gute
Atlantik

Tarengrim aktiv_icon

08:44 Uhr, 10.03.2011

An und für sich Richtig. Wie schon öfter erwähnt ist die Aufgabenstellung etwas gemein, wenn du zu kompliziert denkst, wie wir es hier sehr oft tun.

Nach einigen Gesprächen mit diversen Lehrern und Schülern scheint es so zu sein, dass die Länge der Schachtel gleich bleibt, da die Länge der Zündhölzer ja auch immer gleich ist, wenigstens in diesem Beispiel.

Atlantik hat den Rechenweg ganz richtig geschrieben, nur halt, dass er die Breite der Schachtel

(3,5

cm) als unverändert ansah (auch wenn Länge geschrieben steht, aber die Schachteln sind meist 5 cm lang,

3,5

cm breit und 1 cm hoch, wird auch so in der Angabe deklariert). Dein Lehrer erwartet vermutlich, dass die Länge (5cm) konstant bleibt. Das haben wenigstens die meisten Lehrer meiner Schüler erwartet.

Einzig und alleine, ich würde die Funktion nicht auf einen Nenner bringen bevor ich sie ableite. Manchmal hilft es, aber in diesem Fall macht es das ganze nur unnötig kompliziert, besonders, da ich ja

\frac{42}{c} + 7 c + 12

recht schön und ohne Zwischenschritte ableiten kann.

Ein Beispiel, das sehr auf nicht gesagten und nicht geschriebenen Angaben beruht, ich verstehe immer noch nicht warum sie unbedingt Streichholzschachteln nehmen müssen, wenn sie es dann so abstrahieren. Ein Steinblock würde es hier auch tun.

Atlantik aktiv_icon

09:05 Uhr, 10.03.2011

Hallo,

ich habe speziell gar nicht daran gedacht, dass Streichhölzer 5cm lang sind.
Mir kam es einfach darauf an, die Oberfläche bei gleichem Volumen zu minimieren.
Es hätte auch sein können, dass ich zufällig die 5cm als konstante Größe betrachte.

mfG

Atlantik

Shipwater aktiv_icon

10:26 Uhr, 10.03.2011

Also ein bisschen mehr Infos hätte man in die Aufgabenstellung ruhig packen können. ;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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