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Extremwertberechnung (Rechteck max. Restfläche...)

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Extremwertaufgaben, Fläche, Maximal, maximierung, Rechteck, Rechtwinkliges Dreieck

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20:39 Uhr, 17.04.2008

Hallo,

ich habe zu folgendem Problem keinen Lösungsansatz, kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben?

"Von einer rechteckigen Glasplatte mit den Seitenlängen

30

und

40

cm ist eine Ecke in Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kantenlängen

q

und

10

cm abgebrochen.
Aus dem Rechteck soll eine möglichst große Rechteckplatte zurechtgeschnitten werden.
Berechne den maximalen Flächeninhalt für den Fall

q = 6

(bzw. 8,15)"

Wahrscheinlich ist es relativ einfach...,

z . B

. etwas mit Pythagorassätzen, aber ich stehe gerade wirklich ziemlich auf dem Schlauch.

Meine ersten Gedanken beziehen sich auf die übrig geblieben Seiten des Rechtecks in dem rechteck, ich nenne die Seiten mal a und

b

. Dessen Werte können ja nur für a zwischen

24

cm und

30

cm liegen, und für

b

zwischen

30

und

40

cm.
Beide Werte sollen maximal groß werden....,
aber wie stelle ich die Formel dazu auf.

f (x) = . .

.

Danke schon mal für eure Hilfe!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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21:08 Uhr, 17.04.2008

Hallo,
hab mir

\nabla

folgendes überlegt....:
Das rechtwinklige Dreieck wird quasi zu einem Rechteck umgeformt, mit Flächeninhalt

30

cm².
Damit habe ich 4 Rechtecke in meinem großen Rechteck.
Alle zusammen müssen

1200

cm² ergeben, bzw. nach Abzug des rechtwinkligen Dreiecks (Rechteck) müssen alle 3 zusammen

1130

cm² ergeben.
So jetzt brauch ich doch nur noch die Seitenlängen von den anderen beiden kleinen Rechtecken und kann dann die maximale Fläche des übrig gebliebenen berechnen, oder?

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21:24 Uhr, 17.04.2008

Hier ist noch ein selbst erstelltes Bild zu dem Extremwertproblem...

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

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21:25 Uhr, 17.04.2008

Also ich wollte keine Zeichnung hinzufügen, hoffe, dass es jetzt mit dem eingescannten Bild von mir geklappt hat.

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21:36 Uhr, 17.04.2008

Also, soweit bin ich bis jetzt...,
ihr seht ich werde nicht aufgeben, bis ich eine Lösung für dieses Problem gefunden habe.

MBler07 aktiv_icon

21:38 Uhr, 17.04.2008

Hi

deine Zeichnung ist schon mal gut. Ich würde das folgendermaßen lösen:

Die Platte ist in ein Koordinatensystem eingezeichnet (linke untere Ecke bei

(0 | 0)

)
Die herausgebrochene Ecke geht dann von

(0 | 24)

bis

(10 | 30)

. Alle Punkte der Abbruchkante liegen dann auf einer Geraden durch diese Punkte, also:

y = \frac{3}{5} \cdot x + 24

. Das ist die Nebenbedingung.
Die Hauptbedingung lautet dann:

A = (24 + y) \cdot (40 - x)

Da kannst du jetzt die Nebenbedingung einsetzen und nach Standardverfahren rechnen.

Ich selbst mach das nur, wenn du noch mal Hilfe brauchst.

Grüße

Edit: hab die Koordinaten vertauscht und das jetzt geändert.

MBler07 aktiv_icon

21:46 Uhr, 17.04.2008

Da ist doch noch ein Fehler. Das Prinzip ist richtig, aber irgendwie passt die Zusammenstellung noch nicht. Meld mich nochmal.

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21:55 Uhr, 17.04.2008

Ich bin gerade soweit...
Die Nacht ist noch lange...

: -)

Joy84 aktiv_icon

22:11 Uhr, 17.04.2008

Ok,
hab wieder was, könnte das richtig sein:

Geradengleichung

g : f (x) = - 0,6 x + 6

(Nebenbedingung)

Hauptbedingung:

A = (y + 24) \cdot (x + 30)

Erste Gleichung in die zweite einsetzen und man erhält:

A = [(- 0,6 x + 6) + 24] \cdot (x + 30)

. .

A = - 14,4

x²

+ 30 x + 30

???

Vielen Dank übrigens für deine Hilfe!

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22:22 Uhr, 17.04.2008

So,
hab ichs vielleicht geschafft???

MBler07 aktiv_icon

22:27 Uhr, 17.04.2008

Kein Problem. Wobei ich im Moment weniger das Gefühl habe dir zu helfen...
Wie hast du

A = . .

. aufgelöst? Ich komm da auf

(- 0,6 \cdot x + 24) \cdot (x + 30) = A

und das gibt bei mir ein ganz anderes Ergebnis.

Wie man Extremwertaufgaben prinzipiell löst, weißt du aber? Mit Ableitungen und so...

Aleph aktiv_icon

22:28 Uhr, 17.04.2008

Hier also die Lösung:

MBler07 aktiv_icon

22:33 Uhr, 17.04.2008

Oh je. Voll aufm Schlauch gestanden. Aber zumindest der Ansatz hat gestimmt. Wohl doch zu spät für Mathe...
Leider hat Aleph mit den falschen Werten gerechnet.

Joy84 aktiv_icon

22:34 Uhr, 17.04.2008

Hi, wieso

8,15

?
X-Wert geht doch von

0 - 10,

oder?

Aleph aktiv_icon

22:49 Uhr, 17.04.2008

Auch wenn die Zahlenwerte vielleicht nicht stimmen sollten und die Einheiten fehlen, so ist aber dennoch die Aufgabe vom Prinzip her richtig. Mit den aktuellen (richtigen) Zahlenwerte lässt sich dann doch bestimmt die Rechnung modifizieren!

Joy84 aktiv_icon

23:00 Uhr, 17.04.2008

Ähhhm,
kannst du mir trotzdem noch sagen, was ich jetzt wieder hier falsch gemacht habe....?

MBler07 aktiv_icon

23:06 Uhr, 17.04.2008

Erstens hast du die Klammer in der zweiten A_max Zeile falsch aufgelöst und zweitens versuchst du es mit meinem Ansatz, der nicht ganz richtig ist.

Richtig muss es heißen:

A (x) = (40 - x) \cdot y (x),

wobei

y (x)

die berechnete Gerade ist. Alles auf der mathematisch korrekten Lösung von Aleph nachzulesen.
Sorry, dass ich etwas Verwirrung gestiftet habe.

Joy84 aktiv_icon

23:13 Uhr, 17.04.2008

Ok, bin gerade dabei richtig zu rechnen....

Aleph aktiv_icon

23:16 Uhr, 17.04.2008

1. Wähle die Punkte für die Zweipunkteform richtig:

$P_{1} (0; 24)$

und

$P_{2} (10; 30)$

Dann folgt also:

$y = \frac{3}{5} \cdot x + 24$

und

$x = 40 - Δ x$

2. Berechnung der Fläche:

$A_{\max} (x) = x \cdot y = (40 - x) \cdot (\frac{3}{5} \cdot x + 24)$

und so weiter ...

Joy84 aktiv_icon

23:28 Uhr, 17.04.2008

x = 0,

das ist die Lösung, oder???

Aleph aktiv_icon

23:33 Uhr, 17.04.2008

Stimmt :-)

Du meinst natürlich:

$Δ x = 0$

also:

x = 40 cm

Joy84 aktiv_icon

23:39 Uhr, 17.04.2008

Juhuuuuuu!
Und das nachdem ich anfangs so aufm Schlauch stand!
Vielen vielen Dank an euch beide, schlaft gut und jetzt weiß ich ja an wen ich mich wenden muss, wenn ich wieder mal Hilfe brauche, weil ich eine Aufgabe nicht schaffe.
Gute Nacht!

*smile*

Joy84 aktiv_icon

00:03 Uhr, 18.04.2008

Wenn ich für

q = 15

einsetze, bekomme ich folgende Geradengleichung:

y = 1,5 x + 15

A = (40 - x) (1,5 x + 15)

. .

A = 1,5

x²

+ 45 x + 600

= 3 x + 45; \to x = 15

Aber dieser Wert liegt außerhalb des Wertebereiches, aber die Zeichnung sagt mir nach meinen logischem Menschenverstand, dass es eigentlich doch auch zu diesem Wert eine Lösung geben müsste, oder?

y

wäre in meinem berechneten Fall

= 37,5

. .

.
Oder mach ich gerade wieder was falsch (vielleicht auch weil es ja nun auch schon sehr spät ist...)

Maker aktiv_icon

09:13 Uhr, 18.04.2008

Bis zur zweiten Zeile sieht doch alles gut aus, nur beim ausklammern hast du einen kleinen, aber grossen Fehler gemacht. Wo ist das Minus hin?

A = (40 - x) \cdot (1,5 \cdot x + 15)

A = - 1,5 \cdot x^{2} + 45 \cdot x + 600

Ausserdem ist bei

A = 3 \cdot x + 45 \to x = - 15

Da hast du auch das Minus wieder vergessen. Denn sonst würde das

x

ja in deinen zulässigen Bereich liegen. Obwohl du eigentlich ein falschen x-Wert hast kriegst du den richtigen y-Wert raus komisch.

Joy84 aktiv_icon

09:24 Uhr, 18.04.2008

Hi,
ich habe mich beim Abtippen vertippt...
Aber was ist denn jetzt los, wenn der Wert außerhalb des zulässigen Bereichs liegt?

Maker aktiv_icon

09:44 Uhr, 18.04.2008

Wenn der Wert außerhalb liegt ist entweder die Randbedingung falsch, verrechnet oder es gibt keine Lösung für den Wert. Hab gerade gesehen das der y-Wert ja nicht grösser als

30

sein darf. Das hatte ich ja komplett überlesen. Dann wird wohl was an der Rechnung nicht stimmen. Hab mal gerade ein bisschen rumprobiert. Für

x = 10

und

y = 30

liegt das Maximum im Bereich, es ist aber nicht das Maximum was man rechnerisch rausbekommen würde. Dieses liegt bei

x = 15

und

y = 37,5

. Würde dann sagen das das Maximum halt bei

P (10,30)

liegt, da dies noch im Bereich liegt.

Aleph aktiv_icon

09:59 Uhr, 18.04.2008

Setze

$q = 15$

Dann folgen zur Bestimmung der Geradengleichung zwei neue Punkte:

$P_{1} (0; 24)$

und

$P_{2} (15; 30)$

Mit Hilfe der "Zweipunkteform" bestimme die Gradengleichung:

$\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Dann folgt also:

$y = \frac{6}{15} \cdot x + 24$

Für x gilt weiterhin:

$x = 40 - Δ x$

Somit gilt für die Flächenfunktion:

$A_{\max} (x) = x \cdot y = (40 - x) \cdot (\frac{6}{15} \cdot x + 24)$

Bestimmung des Extremwertes:

...

$A_{\max}^{'} (x) = - \frac{4}{5} \cdot x - 8$

$A_{\max}^{'} (x) = 0$

Dann folgt:

$x = - 10$

Also hat die Flächenfunktion (Parabel) einen Extremwert an der Stelle x = -10

Da aber der zu betrachtende Bereich von x nur im Intervall

$[0; 15]$

liegt, ist anzunehmen, dass der maximale Funktionswert bei x = 0 liegt.

Überprüfe es mit einer Wertetabelle!

Demnach gilt also für die maximale Fläche:

$Δ x = 0$

bzw.

$x = 40 - Δ x = 40 - 0 = 40$

und

$y (x = 0) = 24$

Somit ergibt sich aus der Berechnung für x und y einen maximalen Flächeninhalt von:

A = 40 x 24 = 960 FE

Zur Veranschaulichung hier also der Graph der Flächenfunktion:

Maker aktiv_icon

10:04 Uhr, 18.04.2008

Wenn

q = 15

ist dann ist doch

P_{1} (0,15)

und

P_{2} (10,30)

oder? Ich dacht die eine Kantenlänge bleibt immer gleich und zwar bei

10

cm? Es wird doch bloss die eine geändert.

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10:07 Uhr, 18.04.2008

... schau dir bitte die Zeichnung an und ersetze 10 durch 15.

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10:19 Uhr, 18.04.2008

Ich hab die Aufgabe vom Anfang nochmal gelesen und es so verstanden das es drei Fälle zu berechnen gibt. Wo jeweils die eine Kantenlänge stets

10

cm ist und die andere jeweils

6, 8

und

15

cm gross ist. Dein

P_{1} (0,24)

ist doch noch immer für

q = 6

und nicht für

15

Aleph aktiv_icon

10:25 Uhr, 18.04.2008

Hier geht es lediglich um das Prinzip der Vorgehensweise bei solchen Aufgabentypen. Welche Zahlen man auch immer auswählt ist schlichtweg egal. Zahlen in fertigen Formeln einzusetzen bedarf keiner großen Kunst.

MfG

507077

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