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Extremwerte Polynom 4. Grades finden, ohne TR

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Extremstellen, Polynomdivision

ESchwemin aktiv_icon

17:31 Uhr, 30.12.2013

Hallo liebe Mathe Online Community,

ich habe eine Frage an euch was ein Polynom 4. Grades anbelangt.
Um die pq-Formel anzuwenden würde ich ja zweilmal eine Polynomdivision durchführen, um eine quadratische Gleichung zu erhalten.
Damit habe ich die Nullstellen.

gegeben ist beispielsweise dieses Polynom:

y (x) = x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2

Nullstellen:

x 1 = 1, x 2 = - 2, x 3 = - 7, x 4 = 7

Ableitung:

y \cdot (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 5 = 0

Nach dem ich die restlichen Nullstellen nach zweimaliger Polynomdivision auch ohne pq Formel ermitteln konnte, stieß ich auf Schwierigkeiten mit den Extremstellen.
Ich darf in der Klausur im Maschinenbau keinen Rechner benutzen der die solve funktion kann bzw. die Gleichung für mich löst.

Vielleicht habe ich auch einfach das Wissen aus der Schule verdrängt.
Mit

x

ausklammern komme ich hier irgendwie nicht weiter. Extremwerte sind:

- \frac{5}{4}, 1

Aber wie finde ich die ohne die Gleichungsfunktion meines Rechners ?

Hoffe einer von euch kann mir helfen.
Guten Rutsch euch schon mal !

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

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michael777 aktiv_icon

17:44 Uhr, 30.12.2013

du suchst also die Lösungen von

4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 5 = 0

?
ausklammern kann man hier nichts
erste Lösung muss durch Probieren gefunden werden.
wenn es ganzzahlige Lösungen gibt, dann sind das Teiler von der Konstanten
hier die Teiler von

5,

also

\pm 1

und

\pm 5

durch Probieren:

x_{1} = 1

dann Polynomdivision duch

x - x_{1}

also

(4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 5) : (x - 1) = 4 x^{2} + x - 5

danach hat man nur noch eine quadratische Gleichung, deren Lösungen mit der pq-Formel bestimmt werden können

4 x^{2} + x - 5 = 0

x^{2} + \frac{1}{4} x - \frac{5}{4} = 0

x_{2,3} = - \frac{1}{8} \pm \sqrt{\frac{1}{64} + \frac{80}{64}} = - \frac{1}{8} \pm \frac{9}{8}

x_{2} = 1

x_{3} = - \frac{5}{4}

bei

x = 1

hat die Ableitung also eine doppelte Nullstelle,

d . h

. die Ausgangsfunktion hat dort keinen Extrempunkt sondern einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente (Sattelpunkt)

Matheboss aktiv_icon

17:46 Uhr, 30.12.2013

Ich weiß nicht, wie Du auf die Nullstellen gekommen bist, aber die sind teilweise falsch.

x_{1; 2; 3} = 1

x_{4} = - 2

x = 1

dreifache Nullstelle der Funktion, ist

x = 1

auch Nullstelle der 1. Ableitung.

michael777 aktiv_icon

17:54 Uhr, 30.12.2013

die Nullstellen der Ausgangsfunktion

y

habe ich nicht geprüft
Es stimmt, dass es eine bei

x = - 2

und eine dreifache bei

x = 1

gibt

in meiner Antwort habe ich nur die Nullstellen der Ableitung berechnet, weil er ja die Extremstellen berechnen wollte

Matheboss aktiv_icon

17:57 Uhr, 30.12.2013

@Michael777

Das soll kein Vorwurf sein, ich habe nur gesehen ,dass das konstante Glied 2 ist und deshalb

x = 7

keine Lösung sein kann.

Deshalb habe ich nachgerechnet

Ich wünsche Euch Allen einen guten Rutsch!

ESchwemin aktiv_icon

18:24 Uhr, 30.12.2013

Vielen Dank an euch!

Insbesondere an michael777, habe das bei dieser Ausführung genau verstanden.
Das ging ja echt mit Lichtgeschwindigkeit bei euch!

Guten Rutsch und Vielen Dank nochmal!

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