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Extremwerte und Extremstellen bestimmen f(x,y)

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Extremstellen, Extremwert, Partielle Ableitung

theKuke aktiv_icon

15:04 Uhr, 04.09.2012

Hallo,

ich habe gerade ein großes Problem mit einer Aufgabe zur Klausurvorbereitung:

f (x, y) = x^{2} e^{x} + 2 y^{3} - 3 y^{2}

a)

Berechnen Sie die partielle Ableitung erster Ordnung

Sehe ich das richtig?

fx(x,y)=

2 x e^{x}

fy(x,y)=

e^{x} 6 y^{2} - 6 y

b)

Berechnen Sie wo mögliche Extremwerte liegen.

\to = 0

auflösen einsetzen? Was passiert mit

e^{x}

c)

Partielle Ableitung zweiter Ordnung.

f \times (x, y) = 2 e^{x}

fyy(x,y)=

e^{x} 12 y - 6

Gemischte Ableitung für Hesse Matrix? Selbe Problem mit

e^{x}

d)

Extremstellen auf Maxima, Minima oder Sattelpunkt prüfen.

Lösungen von

b

in Hesse Matrix einsetzen und Determinante berechnen?

Ich hoffe mir kann jemand Helfen. Ich dreh grad bisschen am rad und keiner da der mir helfen kann

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

15:30 Uhr, 04.09.2012

...auch wenn nur nach einervariablen abgeleitet wird, so sind doch die Ableitungsregeln zu beachten. So ergibt sich die Ableitung für den 1. Summanden zu:

(x^{2} \cdot e^{x})' = (x^{2})' \cdot e^{x} + x^{2} \cdot (e^{x})' = 2 \cdot x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = (x^{2} + 2 \cdot x) \cdot e^{x}

und somit

\frac{δ f (x, y)}{δ x} = (x^{2} + 2 \cdot x) \cdot e^{x}

Für die part. Ableitung nach

y

stellt der 1. Summand lediglich eine Konstante da, die beim ableiten verschwindet. Somit leitest du dann nur noch die letzten beiden Summanden ab:

\frac{δ f (x, y)}{δ y} = (2 \cdot y^{3})' - (3 \cdot y^{2})' = 6 \cdot y^{2} - 6 \cdot y

Für die Ableitungen 2. Ordnung ergeben sich 4 Ableitungen, von den 2 identisch sind.

Diese sind:

f_{x x}, f_{x y}, f_{y x}

und

f_{y y}

welche sich in der Hesse-Matrix anordnen lassen zu:

H_{f =} (\begin{matrix} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{y x} & f_{y y} \end{matrix})

Dabei sind nach Schwarz

f_{x y} = f_{y x}

Für

f_{x x}

leitest du also nochmal

(x^{2} + 2 \cdot x) \cdot e^{x}

nach

x

ab

für

f_{y y}

leitest du nochmal

6 \cdot y^{2} - 6 \cdot y

nach

y

ab

für

f_{x y} = f_{y x}

ist schon zu erkennen, dass diese Ableitungen verschwinden.

;-)

theKuke aktiv_icon

10:26 Uhr, 05.09.2012

Danke dir. Dennoch komme ich irgendwie nicht so recht weiter. Das

e^{x}

bringt mich Komplett ausm Konzept.

1. Partielle Ableitung:

fx(x,y)=

2 x e^{x} + x 2 e^{x} = (x^{2} + 2 x) e^{x}

fy(x,y)=

6 y^{2} - 6 y \to 6 y^{2} = 6 y

6 y = 6

y = 1

Also

y = 1

in die Ursprungsgleichung eingesetzt:

f (x, y) = x^{2} e^{x} + 2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} = x^{2} e^{x} - 1

Ich würde gerne

x

rausfinden.... aber wie?

2. Partielle Ableitung:

Mit Kettenregel?

f \times (x, y) = e^{x} (x 2 + 2 x) (2 x + 2)

fyy(x,y)

= 12 y - 6

Und die andern 2 sind 0 da

\to

fx(x,y) nach

y

Abgeleitet

= 0 \to

Da beide gleich

Hesse Matrix aufstellen und dann entsprechen die

x, y

werte von oben einsetzen und Determinante ausrechnen?

Edddi aktiv_icon

12:18 Uhr, 05.09.2012

...du solltest erhalten:

z_{x} = e^{x} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x)

z_{x x} = e^{x} \cdot (x^{2} + 4 \cdot x + 2)

z_{y} = 6 \cdot y^{2} - 6 \cdot y

z_{y y} = 12 \cdot y - 6

lok. Extrema in x-Richtung über:

über

z_{y} = 0

6 \cdot y^{2} - 6 \cdot y = 0

6 \cdot y \cdot (y - 1) = 0

y = {0, 1}

Art der Extremstelle über

z_{y y} (0) = - 6 \Rightarrow

Max. und

z_{y y} (1) = 6 \Rightarrow

Min.

lok. Extrema in y-Richtung über:

über

z_{x} = 0

e^{x} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x)

e^{x} \cdot x \cdot (x + 2) = 0

x = {0, - 2}

Art der Extremstelle über

z_{x x} (0) = 2 \Rightarrow

Min. und

z_{x x} (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} \Rightarrow

Max.

Somit hast du für

z (x, y) 4

Stellen, an denen die Tangentialebene parallel zur X-Y-Achse liegt. Diee sind:

z (- 2,0), z (- 2,1), z (0,0)

und

z (0,1)

liegt in beiden Richtungen ein Maxima oder Minima vor, so handelt es sich um eine lokale Extremstelle. Ansonsten ist's ein Sattelpunkt.

für

z (- 2,0)

haben wir

z_{x x} (- 2) < 0

und

z_{y y} (0) < 0,

somit in beiden Richtungen lok. Maximum , somit lokales Maximum von

z

für

z (- 2,1) \Rightarrow z_{x x} (- 2) < 0 \Rightarrow z_{y y} (1) > 0 \Rightarrow

Sattelpunkt

für

z (0,0) \Rightarrow z_{x x} (0) > 0 \Rightarrow z_{y y} (0) < 0 \Rightarrow

Sattelpunkt

für

z (0,1) \Rightarrow z_{x x} (0) > 0 \Rightarrow z_{y y} (1) > 0 \Rightarrow

lok. Minimum

Hier siehst du schön.

ist die Determinante der Hessematrix der Extremstellen

{det H}_{f}

positiv

det (\begin{matrix} z_{x x} & z_{x y} \\ z_{y x} & z_{y y} \end{matrix}) = z_{x x} \cdot z_{y y} - z_{x y} \cdot z_{y x}

in unseren Falle ja dann nur:

det (\begin{matrix} z_{x x} (x_{E}, y_{E}) & z_{x y} (x_{E}, y_{E}) \\ z_{y x} (x_{E}, y_{E}) & z_{y y} (x_{E}, y_{E}) \end{matrix}) = z_{x x} (x_{E}, y_{E}) \cdot z_{y y} (x_{E}, y_{E})

so liegen lok. Extremstellen vor.

Ist der Wert der Determinate negativ eben Sattelstellen.

(Dies ist nur die Anwendung der Matrix für diesen speziellen Fall. Für die Allgemeine Definition der hessematrix solltest du dich damit nochmals auseinandersetzen.)

Ich denk', das reicht erstmal, ich mach jetzt Mittag

;-)

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