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Extremwerte und Monotonie einer e-Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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23:00 Uhr, 21.01.2017

Hallo :-)
Ich habe zur Klausurvorbereitung eine Aufgabe aus einer Altklausur gefunden und finde diese ehrlich gesagt nicht gerade leicht zu lösen.

Gegeben ist eine Funktion deren Extrema und Monotonie ich bestimmen soll. Grunsätzlich weiß ich das dies per Ableitung geht. D.h. Ableitungen bestimmen, evtl. 0 setzen und so weiter. Die Ableitungen bekomme ich auch hin. Allerdings bin ich der Meinung das der Term der dabei rauskommt etwas groß ist.

Meine Frage wäre ob es hier einen Trick gibt den ich einfach nicht sehe?
Kann mir kaum vorstellen das die Aufgabe so gemeint war wie ich das verstehe, denn die Anzahl der Punkte die diese gibt ist auch nicht gerade ergiebig.

Vielen Dank!

Gegeben ist:

ℝ_{0}^{+} \to ℝ

x \to f (x) = \sqrt{x} \cdot e^{- x}

Ich habe berechnet:

f ʹ (x) = e^{- x} (\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \sqrt{x})

f ʺ (x) = e^{- x} (- \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{2}} - \frac{2}{2 \sqrt{x}} + \sqrt{x})

Die erste Ableitung gleich 0 gesetzt gibt mir den Punkt

x = 0.5

Jetzt müsste ich den in die 2e Ableitung setzen.
Allerdings bekomme ich mit dem Taschenrechner leider nicht das Ergebnis welches mir Wolfram Alpha gibt. Habe ich was übersehen oder bin ich einfach nur zu blöd den Term richtig auszurechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

05:17 Uhr, 22.01.2017

>

Habe ich was übersehen oder bin ich einfach nur zu blöd den Term richtig auszurechnen?

Diese Frage wird dir hier niemand endgültig beantworten können - nicht zuletzt deshalb, weil wir ja nicht sehen, was du wie rechnest. Du gibst ja auch nicht an, welches Ergebnis du und Onkel Wolfram haben.

Ich kann dir nur bestätigen, dass deine Ableitungen und der Wert

x_{0} = \frac{1}{2}

richtig sind und du solltest

f'' (\frac{1}{2}) = - \sqrt{\frac{2}{e}} \approx - 0,85776

rausbekommen. Es handelt sich also um ein relatives Maximum, wie dir auch ein Plot bestätigt, den du beim Üben eigentlich immer mithilfe eines Programms, Online-Plotters, GTR,

. .

. anfertigen solltest.

Bild1

psyonix aktiv_icon

13:59 Uhr, 22.01.2017

Ja ok, ich hatte mein Ergebnis nicht mehr zur Hand. War ja falsch xD

Habe jetzt n anderen Taschenrechner genutzt und bin auf dein Ergebnis gekommen. Schätze mal ich mach bei dem anderen etwas falsch.

Eine kurze Frage zu deiner Ableitung: Wie kommst du auf diesen kurzen Term? Hat dir das ein Computerprogramm ausgespuckt? Der sieht nämlich gleich mal massiv leichter aus.

Roman-22

22:16 Uhr, 22.01.2017

>

Eine kurze Frage zu deiner Ableitung: Wie kommst du auf diesen kurzen Term? Hat dir das ein Computerprogramm ausgespuckt?
Das ist nicht die zweite Ableitung der Funktion, sondern nur ihr Wert an der Stelle

\frac{1}{2}

.
Wenn du zB

{(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

beachtest und Dinge wie

{(\frac{1}{2})}^{- \frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2 \cdot \sqrt{2},

etc. dann benötigst du dafür sicher kein CAS.

psyonix aktiv_icon

14:24 Uhr, 23.01.2017

Ja da habe ich mich etwas unklar ausgedrückt. Mir war schon klar das das nicht die Ableitung ist sondern der Wert der Ableitung bei

0.5

.

So wie ich das sehe sollte ich mir wohl nochmal die Potenzgesetze anschauen. Schön peinlich xD

Vielen Dank!

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