Extremwerte und Nebenbedingung mit Lagrange

Guten Morgen!

Also ich habe folgendes Problem: Ich versuche seit gestern Abend die Extremwerte einer Funktion mit Nebenbedingung bestimmen. Ich habe vor es mit der Lagrange Funktion zu probieren, komme aber leider nicht weiter.

Die Funktion lautet

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

die Nebenbedingung ist

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=1}$

Zur Formulierung der Nebenbedingung sei

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1=0}$

Dann habe ich die Lagrangefunktion gebildet mit

${\displaystyle \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1)={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Anschließend habe ich die drei partiellen Ableitungen gebildet und diese =0 gesetzt

${\displaystyle {\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=02\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-1=0}$

Nun ja, da bin ich dann angekommen.

Dieses Gleichungssystem kommt mir sehr kompliziert vor und wenn ich es versuche zB mit Mathematica oder so zu lösen kommen ziemlich verrückte Lösungsmengen heraus, so dass ich annehme bis jetzt irgendein Fehler gemacht zu haben.

Ich hoffe jemand kann mir auf die Sprünge helfen.

MFG und vielen Dank

sauber, danke ersteinmal.. da hatte ich wohl ein brett vor dem kopf ;-)

Ich habe nun für den ertsen fall ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0,\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=+-1,\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

und für den zweiten Fall ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\frac{1}{3}},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{3}},\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\sqrt{\frac{1}{3}}}$

Also habe ich für den ersten Fall mögliche Extrempunkte bei (1,0) und bei (-1,0)

und im zweiten Fall einen möglichen Extrempunkt bei ${\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{3}})}$ ?

Wie prüfe ich nun diese Stellen (?) am besten auf Maximum/Minimum?

Geht dies immer mit der geänderten HessMatrix oder gibts es kein "Rezept"?

Vielen Dank

ok..

dann erhalte ich für y=0

h(1,0)=h(-1,0)=0

und für y ungleich 0

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}})=\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\sqrt{\frac{1}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}})=\frac{2\sqrt{3}}{9}}$

und

${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{2}{3}})=\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(-\sqrt{\frac{1}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}}$

Aber ich kann doch nicht daraus schließen ob zB im Falle y=0 ein Max Min oder Sattelpunkt vorliegt? Kann ich zum prüfen dann einfach die Funktionswerte der zweiten Ableitung von g(x,y) bilden ohne erneut auf die Nebenbedingung zu achten, also quasi so, als wenn ich eine "normale" Extremwertaufgabe ohne Nebenbedingung hätte? Dann müsste ich doch auch die Hessmatrix bilden können und auf Definitheit prüfen können oder? Mein Script behandelt leider in diesem Punkt kein Beispiel und aus der Definition werde ich nicht wirklich schlau..