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Extremwertproblem Rechteck optimieren in Dreieck

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Tags: Element, Extremwert, Extremwertaufgabe, klasse 10, Mathematik, Optimierung

Ra8er aktiv_icon

16:16 Uhr, 23.05.2009

Aufgabentext aus Elemente der Mathematik

10

(Seite

214

Aufgabe

8) :

Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von

4,8 m

und einer Breite von

8 m

. In ihm soll ein möglichst großes Quaderförmiges Zimmer eingerichtet werden. Gib die Maße des Zimmers an!

h = 4,8

g = 8

Nennen wir die orangene lange Seite mal

a

.
Nennen wir die orangene kurze Seite mal

b

x

steht für die beiden Teile des grünen dreieckes, die links und rechts über sind.

dann sollte gelten:

a = 8 - 2 x

b = 4,8 - y

Da mir das aber zu viele Varibalen waren, hab ich nach einem anderen Lösungsansatz gesucht, diesem hier:

Wenn man das Gleichschenklige Dreicck in der mitte Teilt bekommt man 2 Rechtwinklige dreiecke mit:

h = 4,8

\frac{g}{2} = 4

c =

?

Satz des Pytagoras=

4,8²+4²= c²

c = 6,25

Nun gehts bei mir bereits in die spekulation, meiner Meinung nach kann die Maximale Oberfläche nur erreicht werden, wenn die Ecken des Rechtecks das Dreieck in der Mitte der Schenkel berühren, das kann ich aber nicht beweisen.

Ich hab das gefühl das ich evtl. auf dem richtigen Weg bin, aber ich komm nicht weiter, da ich die Variablen nicht elmeminieren kann bzw. Abhängigkeiten aufstellen kann.

Ich schreibe die Klausur zu dem Thema am Dienstag, wäre um Hilfe wirklich sehr sehr dankbar.

Mit freunlichem Gruß

Lennart Völler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ra8er aktiv_icon

17:34 Uhr, 23.05.2009

Ich glaube ich habe eine akzeptable Lösung, auch wenn ich nicht ganz verstehe wo da das Extrem ist

\land

ich hab mir hier ein Paar videos angeguckt und veruscht das mit dem Strahlensatz zu lösen:

Wir teilen das grüne Dreieck in der mitte und erhalten 2 Rchtwinklige, bei denen wir uns einfach nur auf eis konzentrieren wollen.

HB: (Rechteck (Nur die Hälfte des Rechtecks)):

A = a \cdot b

NB:

\frac{4,8}{b} = \frac{4}{4 - a}

Verhältnis von Kurzer zu Langer seite.

\frac{b}{4,8} = \frac{4 - a}{4} | \cdot 4,8

Kerwert, wäre nett wenn mir nochmal einer erklären könnte wie man das macht und was das bringt.

b = \frac{19,2 - 4,8 a}{4}

ZF:

A = a \cdot \frac{19,2 - 4,8 a}{4}

A = \frac{19,2 a - 4,8 a^{2}}{4}

\Leftrightarrow - 1,2 a^{2} + 4,8 a

A' = - 2,4 a + 4,8

0 = - 2,4 a + 4,8 | - 4,8 | : (- 2,4)

2 = a

2,4 = b

2 a = 4

2 a

deshalb, da wir ja nur die haklbe seite ausgerechnet haben.

So mit stehen die maximalen maße fest würd ich sagen oder?

Sams83 aktiv_icon

18:47 Uhr, 23.05.2009

Hallo,

ja, so ist es richtig gelöst, und ich versuche auf Deine Fragen zu antworten:

Als Kehrwert eines Bruchs

\frac{a}{b}

bezeichnet man den Bruch

\frac{b}{a}

Bei Lösen von Gleichungen ist dies manchmal ein geeigneter Trick, um Variablen vom nenner in den Zähler zu bekommen und umgekehrt:

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

ist dasselbe, wie wenn Du schreibst:

\frac{b}{a} = \frac{d}{c}

Ist eigentlich nichts anderes als Multiplizieren mit

b

und

d

und teilen durch a und

c .

In deinem Fall dient es dazu, das

b

in den Zähler zu bekommen, da sich so einfacher danach auflösen lässt.

Und dann hast Du noch geschrieben:
"auch wenn ich nicht ganz verstehe wo da das Extrem ist"
Du berechnest das Extremum, indem du die Ableitung gleich 0 setzt.
Was Du machst, ist, dass du zunächst allgemein eine Formel für den Flächeninhalt aufstellst:

A = a \cdot b

Von dieser Formel möchtest Du das Maximum wissen. Das Problem dabei ist, dass da noch zwei Variablen drinstehen

(a

und

b)

und diese Variablen voneinander abhängen. Mit Hilfe der Nebenbedingung kannst du

b

in Abhängigkeit von a einsetzen, so dass deine Formel nun nur noch von a abhängt.
Nun ist das Extremum dieser Funktion gesucht. Dies berechnet man, indem man die erste Ableitung mit 0 gleichsetzt.

Das

a,

dass du dadurch erhältst, ist das

a,

dass ein Extremum bei der Funktion A erzeugt.

Übrigens:
Da das Ganze aus einem Aufgabenbuch der 10.Klasse stammt, müsste man das Extremum vermutlich anders berechnen, da der Ableitungsbegriff erst in der 11.Klasse eingeführt wird, oder?
In dem Fall handelt es sich bei der Funktion ja um eine Parabel. Eine Parabel hat ihren Extrempunkt immer im Scheitelpunkt. Wenn man also den Scheitelpunkt berechnet, erhält man das Extremum der Funktion ganz ohne Ableitung...

Gibt's weitere Fragen?