Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fläche auf Hauptachsenform bringen

Fläche auf Hauptachsenform bringen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Drehung, Eigenwert, Fläche, hauptachsentransformation, Kegelschnitt, Matrizenrechnung

Manuel91 aktiv_icon

22:47 Uhr, 02.04.2017

Meine Frage ist:

Bringen Sie die Fläche

x^{2} +

2xz+

y^{2}

− 2yz = −1 auf Hauptachsenform. Um welche Art von Fläche handelt es sich?

Mein Problem ist die richtige Matrix aufzustellen.

Habe folgendermaßen umgeschrieben auf Matrixschreibweise:

{(x y z)}^{T} \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = - 1

Durch

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

erhalte ich

(\begin{matrix} x + 2 z \\ y - z \\ - y \end{matrix})

und wenn ich wiederum

{(x y z)}^{T} \cdot (\begin{matrix} x + 2 z \\ y - z \\ - y \end{matrix})

rechne erhalte ich genau wieder

x^{2} +

2xz+

y^{2}

− 2yz = −1

Kann das so stimmen? Habe die Werte in der Matrix

(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{matrix})

nur geraten und vielleicht kommt ja nur zufällig ein richtiges Zwischenergebnis raus.

Beim nächsten Schritt, also dem Errechnen der Eigenwerte nämlich kommt ein Polynom 3. Grades heraus, bei dem ich mir schwer tue brauchbare Eigenwerte auszurechnen...

Bitte um Hilfe. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Manuel91 aktiv_icon

09:00 Uhr, 03.04.2017

Kennt keiner einen Lösungsansatz? LG

ermanus aktiv_icon

09:42 Uhr, 03.04.2017

Hallo,

ich sag mal kurz etwas dazu, in ca. 1 Stunde habe ich mehr Zeit ...
Du solltest Dir die obige quadratische Form so hinschreiben:

1 x^{2} + 0 x y + 1 x z + 1 y^{2} + 0 y x - 1 y z + 0 z^{2} + 1 z x - 1 z y

.

Dann bekommst Du die symmetrische (!) Koeffizienten-Matrix:

A = (\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array})

.

Die gemischten Glieder musst du in zwei gleiche Teile aufteilen.

Jetzt dürftest Du kein Problem mehr haben, die Eigenwerte
zu bestimmen, sowie eine Basis aus Eigenvektoren.

Gruß ermanus

Manuel91 aktiv_icon

17:39 Uhr, 03.04.2017

Vielen Dank ermanus, du hast mir wirklich sehr geholfen!

Eine winzig kleine Frage habe ich jetzt allerdings doch noch...

Habe nun meine Basis aus Eigenvektoren mit

x 1 = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), x 2 = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

und

x 3 = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})

und will nach dem normieren der Vektoren eine Transformationsmatrix erstellen. Jetzt sind das doch einfach die Werte meiner Eigenvektoren dividiert durch ihre jeweilige Norm. Woher weiß ich welchen Eigenvektor ich in der Matrix an welche Stelle setze? Es ist ja schließlich nicht egal ob meine Matrix

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix})

oder

(\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{2} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & 0 \end{matrix})

lautet.

Danach erstelle ich die Diagonalmatrix

D = T^{T} \cdot A \cdot T,

wobei A meine ursprüngliche Koeffizientenmatrix ist. Mit Matrix

D

erhalte ich dann die neue Darstellung meiner Fläche in Hauptachsenform in der Form

{(x, y, z)}^{T} \cdot (\begin{matrix} . & . & . \\ . & . & . \\ . & . & . \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

. Zuguterletzt noch ausmultiplizieren damit ich die Fläche wieder in der ursprünglichen Schreibweise

x^{2} + x \cdot y + x \cdot z . .

. etc. habe. Ist das soweit richtig? Vielen Dank für deine Zeit! LG Manuel

ermanus aktiv_icon

18:04 Uhr, 03.04.2017

Hallo Manuel,

es ist egal, in welcher Reihenfolge du sie in deine Transformationsmatrix packst,
da bei einer anderen Reihenfolge die Diagonalelemente von

D

sozusagen
entsprechend "mitwandern". Du permutierst eigentlich nur die Variablen ...
Manchmal ist dies ganze Verfahren ein bisschen überkandidelt, da man mit
quadratischer Ergänzung das Problem der Normalform z.B. hier ganz schnell lösen
kann, wenn man nur wissen will, welcher Art diese Fläche ist:

0 = (x + z)^{2} - z^{2} + (y - z)^{2} - z^{2} + 1 = (x + z)^{2} + (y - z)^{2} - (\sqrt{2} z)^{2} + 1

.

Wir führen die neuen Variablen

X, Y, Z

ein:

X := x + z, Y := y - z, Z = \sqrt{2} z

.

In diesen Variablen sieht unsere Quadrik jetzt so aus:

X^{2} + Y^{2} - Z^{2} = - 1

oder

Z^{2} - X^{2} - Y^{2} = 1

.

Das ist ein zweischaliges Hyperboloid.

ermanus aktiv_icon

18:18 Uhr, 03.04.2017

Ich sehe gerade:

x_{2}

hast du falsch normiert.

Manuel91 aktiv_icon

18:50 Uhr, 03.04.2017

Danke für die schnelle Antwort!

Ich werde in der nächsten Übung einfach nachfragen, nach welchem Verfahren wir das ganze hätten lösen sollen aber gut zu wissen, dass es einen schnelleren Weg gibt.

Oh, stimmt. Es müsste eigentlich lauten

x 2 = (\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{matrix})

Danke nochmal. LG

Manuel91 aktiv_icon

19:09 Uhr, 03.04.2017

Nochmal eine Antwort mit Bewertung, Danke!

1364404

1364239

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?