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Fläche unter der Hyperbel

Schüler Gymnasium,

Tags: Fläche, Hyperbel, Logarithmus

Lennja aktiv_icon

21:59 Uhr, 01.09.2018

Guten Abend

Vorgegeben ist die Hyperbel

y = \frac{1}{x}

. Wie kann die Beziehung zwischen der Gesamtfläche unter der Kurve und dem Abstand auf der x-Achse logarithmisch sein? Also die Fläche ist:

F (t) = log (t)

Gruss

Lennja

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln
Logarithmusgesetze - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

22:45 Uhr, 01.09.2018

Fläche unter

y = \frac{1}{x}

von 1 bis

t

ist

\int_{1}^{t} \frac{1}{x} d x = ln (t) - ln (1) = ln (t)

;-)

Lennja aktiv_icon

22:53 Uhr, 01.09.2018

Guten Abend Edddi

Das weiss ich schon. Aber wie kommt man darauf, dass die Gesamtfläche und der Abstand logarithmisch ist? Saint-Vincent stellte es fest, dass der Zusammenhang logarithmisch ist.

Gruss

Lennja

Roman-22

23:24 Uhr, 01.09.2018

>

Aber wie kommt man darauf, dass die Gesamtfläche und der Abstand logarithmisch ist?
Wir können dafür heute doch leicht auf das Werkzeug der Infinitesimalrechnung zurückgreifen.
Damals zu Zeiten von Mercator und Saint-Vincent war das nicht so leicht, da dieselbe ja erstmal Schritt für Schritt entwickelt werden musste.

Informationen darüber, wie die Genies von damals mühsam solche Erkenntnisse gewannen kannst du der einschlägigen Literatur entnehmen.
Eine Internetsuche sollte dir genügend Infos zur Literatur liefern. Die Bücher selbst sollten in einer gut sortierten Fachbibliothek zur Verfügungs stehen

\to

bfy.tw/JglQ

Lennja aktiv_icon

23:32 Uhr, 01.09.2018

Guten Abend Roman-22

Ich habe meine Frage von dieser Website:

www.mathematics.uni-bonn.de/files/weitere-veranstaltungen/workshop_folgen/eulersche-zahl-lv.pdf

Dort stehen die Überlegungen von Saint-Vincent(Kapitel

2.1

Quadratur der Hyperbel nach einer Idee von Fermat und St. Vincent) Aber ich verstehe es nicht.

Gruss

Lennja

Roman-22

02:00 Uhr, 02.09.2018

Aber die grundlegende Idee ist doch in deinem Link und auch in ersten Treffer von Google skizziert.
Wenn man das x-Intervall von 1 bis

b > 1 \in n

Teile so teilt, dass die x-Werte eine geometrische Folge bilden, dann bilden die kumulierten Obersummen eine arithmetische Folge. Und dass quasi aus einer Multiplikation eine Addition wird, das ist ja das Kennzeichnende des Logarithmus, der damals ja auch schon als zu suchende Hochzahl einer Potenz mit bekannter Basis und bekanntem Ergebniswert erklärt war.

zB. x-Werte:

1 = {(\frac{11}{10})}^{0} | \frac{11}{10} | {(\frac{11}{10})}^{2} | {(\frac{11}{10})}^{3} | ...

.
Das erste Rechteck hat die Höhe 1 und die Breite

\frac{11}{10} - 1 = \frac{1}{10}

. Sein Flächeninhalt beträgt also

\frac{1}{10}

.
Das zweite Rechteck hat die Höhe

\frac{10}{11}

und die Breite

{(\frac{11}{10})}^{2} - \frac{11}{10} = \frac{11}{100}

und damit den Flächeninhalt

\frac{10}{11} \cdot \frac{11}{100} = \frac{1}{10}

usw.
Da jedes Rechteck die gleiche Fläche hat, bidlen die Partialsummen eine arithmetische Folge.

Wenn man das Intervall

[1; b] \in n

Teile teilt, so sind die x-Werte

q^{0} = 1 | q | q^{2} | q^{3} | ... | q^{n} = b,

also ist

q = \sqrt[n]{b} > 1

.
Die Fläche jedes einzelnen Rechtecks ist

q - 1

.

Lässt man nun

n \to \infty

laufen, so ergibt sich in heutiger Schreibweise

\int_{0}^{b} \frac{1}{x} d x = lim_{n \to \infty} n \cdot (\sqrt[n]{b} - 1) = ln (b)

Aber das wird in deinem verlinkten Artikel ja ohnedies noch genauer ausgeführt.
Was genau ist dir daran also unklar?

gilgamesch4711 aktiv_icon

02:24 Uhr, 02.09.2018

Roman. was von Vorn herein gegen deine und gegen verwandte Vorgehensweisen spricht. Du setzest da ein sehr kompliziertes Abrakadabra voraus. Dass jemand weiß, was geometrische Reihen sind und wie die konvergieren.
Gegenfrage; wozu haben wir uns eigentlich die ganze Mühe gemacht, die existenz des Riemannschen Integrals ( für stetige Funktionen ) zu rechtfertigen? Schau dir

z . B

. an, was für einen Hype der Friedhelm Erwe da abspult; im Wesentlichen geht es darum, dass ( beliebige ) Untersummen den selben Grenzwert haben wie die Obersummen.
Ich wiederhole meine Gegenfrage; was soll das denn bitte schön sein - Logaritmus? Wie ist denn dieses Wort definiert?
Ich entstamme einem Welt-elektronikkonzern. Dir wird ja nicht unbekannt sein, dass sich im Programmiergeschäft fast nur Do-it-Yourselfer tummeln. Meinte mein Chef

" Anfangs habe ich überhaupt nicht kapiert, warum dass die IBM immer eine so steife Aufrufzeremonie hat

(z . B

. Steuerparameter, Errorflag, Übergabevektor, Rückgabevektor )
Und je mehr ich schrieb, desto ähnlicher wurde ich der IBM . Bis ich mich eines Tages fragte: Warum mach ich's nicht gleich so wie die IBM? "

Genau so hier. Wir wissen

1)

was das R-Integral ist

2)

Wir kennen den Hauütsatz der

D & I (

Aufleiten ist die Umkehrung von Ableiten. )

Dem Neunzert wirst du immer ähnlicher - frei nach meinem Chef. Du peilst das Projekt an, Logaritmus " irgendwie " durch die Aufleitung der Normalhyperbel zu " rechtfertigen "
Dann geh doch einfach Neunzerts letzten Schritt. So bald du Logaritmus definierst als Aufleitung der Normalhyperbel, folgen nämlich alle übrigen algebraischen Eigenschaften dieser Funktion durch Anwendung popeliger Differenzialrechnung. Weil eben das Wichtige bei Grenzwerten ist, dass sie unabhängig von der Art und Weise sind, wie du sie bildest. Und daher brauchst du nicht mal wissen, dass es geometrische Reihen überhaupt gibt. Weil das wäre ja ein viel zu spezieller Grenzprozess.

Roman-22

02:58 Uhr, 02.09.2018

@Gilgamesch oder Gilgamesch4711
Hier war weder nach einer Telekolleg-Vorlesung gefragt noch nach der Meinung deines Chefs.

Es wurde konkret ein Link angegeben und nach einer konkreten Überlegung gefragt

>

Dort stehen die Überlegungen von Saint-Vincent(Kapitel

2.1

Quadratur der Hyperbel nach einer Idee von Fermat und St. Vincent) Aber ich verstehe es nicht.

Wenn du eine konkrete Frage nicht beantworten kannst oder willst, dann mach es bitte nicht so wortreich. Deine ständigen epischen selbstverliebten Monologe, die noch niemandes Frage hier beantwortet haben und offenbar nur deinem Ego dienen sollen, sind auf die Dauer doch einfach nur widerlich.

Lennja aktiv_icon

11:59 Uhr, 02.09.2018

Guten Morgen Roman-22

Ich kann es einigermassen nachvollziehen. Aber ich verstehe immer noch nicht, wo man das Kennzeichnende des Logarithmus sieht? Also, ob die x-Werte logarithmisch sind oder die Obersummen?

Gruss

Lennja

Roman-22

12:23 Uhr, 02.09.2018

Was das Kennzeichnende am Logarithmus ist hängt tatsächlich davon ab, wie man ihn definiert. Soweit mir bekannt, hat auch Mercator, dessen Arbeit ja St.Vincent inspiriert hatte, den Logarithmus von

c

als jene Hochzahl

b

betrachtet, für die

a^{b} = c

ist.
Daraus ist ja die Regel

log (a \cdot b) = log a + log b

unmittelbar herleitbar und sicher auch bekannt gewesen.
Die x-Werte der Teilungspunkte bilden die Folge

q, q^{2}, q^{3}, . .

. und die Partialsummen der Rechtecksflächen die Folge

a, 2 a, 3 a, . .

. mit

a = q - 1

.
Da liegt der Logarithmische Zusammenhang doch auf der Hand, oder?

Lennja aktiv_icon

12:28 Uhr, 02.09.2018

Sorry Roman-22

Ich sehe den logarithmischen Zusammenhang immer noch nicht

: (

Roman-22

12:33 Uhr, 02.09.2018

Wenn du den Logarithmus (beliebige Basis) der Teilungspunkte nach

x

bildest, dann erhältst du doch die Folge

log q, 2 \cdot log q, ..., n \cdot log q

und die ist bis auf einen konstanten Faktor (der für die Log Basis dann verantwortlich ist) doch ident mit der Flächenfolge

a,2 a, . .

n \cdot a

Lennja aktiv_icon

12:47 Uhr, 02.09.2018

Guten Mittag Roman-22

Muss ich das so verstehen?

log q = a

{log q}^{2} = 2 a

{log q}^{3} = 3 a

Gruss

Lennja

Roman-22

13:03 Uhr, 02.09.2018

>

Muss ich das so verstehen?
Ja, wird der x-Wert logarithmiert, so ergibt sich

i . W

. die kumulierte Fläche von 1 bis dahin.
Das reicht ja um von einem logarithmischen Zusammenhang zu sprechen.

Man kann sich natürlich fragen, welcher Logarithmus das sein müsste, für den der Zusammenhang genau, also ohne zusätzlichen konstanten Korrekturfaktor, gilt.

Da müsste also

{log}_{B} (q) = a

gelten oder

B^{a} = q

bzw.

B = q^{\frac{1}{a}}

.

Mit

a = q - 1

ist dann die Logarithmenbasis

B

eine Zahl, für die gilt:

B = q^{\frac{1}{q - 1}}

Jetzt ist aber

q = \sqrt[n]{b} = b^{\frac{1}{n}}

und

n \to \infty

(wir wollen ja auf die Fläche von 1 bis

b

hinaus).
Für

n \to \infty

gilt

q \to 1

und somit ist in heutiger Schreibweise diese Basis

B = lim_{q \to 1} q^{\frac{1}{q - 1}} = e

.
Somit haben wir es konkret mit dem zu tun, das wir heute den natürlichen Logarithmus nennen und können in heutiger Schreibweise festhalten, dass

\int_{1}^{b} \frac{1}{x} d x = ln b

ist.
Ob man zeigen muss, dass obiger Grenzwert

e

ist, hängt davon ab, wie man

e

definiert. Man könnte es ja auch genau durch diesen Grenzwert definieren. Hat man

e

anders definiert, muss man diesen Grenzwert eben auf genau diese Definition oder Beziehungen, die man mit dieser bereits hergeleitet hat, zurückführen.

Wie man in der Zeit des

17

Jahrhunderts konkret mit Logarithmen verschiedener Basis und speziell mit dem, was wir heute den natürlichen Logarithmus nennen umgegangen ist, entzieht sich leider meiner Kenntnis und ich gebe zu, dass ich zu bequem bin, mir das jetzt anzulesen (auch wenns vermutlich durchaus interessant wäre).

Lennja aktiv_icon

13:12 Uhr, 02.09.2018

Danke Roman-22

Endlich habe ich es verstanden. Danke für deine Hilfe!

Gruss

Lennja

abakus

17:01 Uhr, 02.09.2018

"Du setzest da ein sehr kompliziertes Abrakadabra voraus. Dass jemand weiß, ..."

Hallo Gilgamesch,

wer Schülern(!) zur Beantwortung ihrer Fragen beispielsweise von Pauli-Matrizen oder komplexen Funktionen erzählt, der hat zwar möglicherweise eine richtige Antwort gegeben, die aber den Fragestellern absolut nicht hilft.
Deinen ober zitierten Vorwurf könntest du dir nach deinen meisten Postings eigentlich selbst zuschicken.

Nach deinen bisherigen Auftritten dachte ich schon, dass es peinlicher nicht mehr geht.
Aber jetzt hast du dich noch einmal übertroffen.

Matheboss aktiv_icon

20:21 Uhr, 02.09.2018

Da kann ich abakus nur zustimmen!

@ gilgamesch4711 " 4711"

Deine Selbstverherrlichung ist einfach nur peinlich!"

Roman-22

21:14 Uhr, 02.09.2018

Einem geflügelten Wort zufolge soll Eigenlob ja stinken.
Es ist nach den letzten Ergüssen aber sehr fraglich, ob

4711

das zu überdecken imstande ist.

gilgamesch4711 aktiv_icon

14:59 Uhr, 03.09.2018

" Getretener quar

k

wird breit, nicht stark. "

" Der getroffene Hund bellt. "

Ich habe mich bewusst aus der Debatte zwinschen Lenya und Roman heraus gehalten.

" Das hinge davon ab, wie man Logaritmus definiert. "

Meine Rede.

" Der Logaritmus ist eine Hochzahl

. .

. "

Eine selbst erklärende Definition ähnlich abenteuerlich wie jene EU Richtlinie

" Orangensaft ist eine Flüssigkeit, die nach Orangensaft schmeckt und riecht und aussieht wie Orangensaft

. .

. "

Ich bin nunmal unbestechlicher Strukturalist. Genau so könntest du her gehen und den Logaritmus als " Runterzahl " oder als " Sütterlinzahl " bezeichnen - Arabisch Alfa, um es mit dem Mainzer Fastnachter zu sagen.
Im Gegensatz zu euch habe ich ja die Altsteinzeit noch erlebt. Wir mussten noch mit der Logaritmentafel rechnen.

D . h

. hier hast du das rein praktische erfordernis, Logaritmen praktisch zu beherrschen vor der mittleren Reife, wo noch nicht mal die Differenzialrechnung eingeführt wird geschweige die Integralrechnung. Du sollst also ein werkzeug anwenden, dessen wirkliche Definition du noch nicht kennst.
Nebenbei gesagt: Neunzert tut nämlich genau das. Er führt die e-Funktion ein als Umkehrung von Logaritmus; und dann setzt er

x^{y} := e^{y ln (x)}; x > 0; y \in ℝ (1)

Das ist ja jetzt alles definiert. Und abermals löst er sich von jeglichem Mystizismus.

x^{y}

ist ja eine reelle Funktion. Im Hinterkopf haben wir aber die rekursive Definition für

n \in ℕ

x^{0} := 1 (2 a)

x^{n + 1} = x \cdot x^{n} (2 b)

( Die Funktion

(2 b)

interpoliert

(1))

Die Aufgabe: Du musst den

(2 b)

herleiten zwischen aus

(1)

Mir fehlt jegliches Verständnis, wieso ich SELBST VERLIEBT sein soll, wenn ich eine Vorlesung von Prof. Neunzert referiere

. .

. Und, da bin ich mir sicher, auf dem seinem Mist wird das auch nicht gewachsen sein.
Was nun die inversen Matrizen anlangt. Als promoviertem Physiker steht mir wohl ein Urteil zu. Was Schüler intuitiv nachvollziehen; wenn man ihnen sagt, was die Koeffizientenmatrix eines LGS ist.
Hier wir hatten so einen Schrat, den Scientologen Rolf Thierbach. Der stand

z . B

. auf dem standpunkt, selbst Schüler von Kl. 8 dürften nicht wissen, was negative Zahlen sind - weil du doch bei denen ihrem Auditing zu " positivem Denken " angehalten wirst

. .

.
Statt dessen betrachtete er in Geometrie die Kongruenzabbildungen. Ja er erfand sogar die Transformation mit dem abenteuerlichen Namen " Schubumwendung " Ist das jetzt die neue Verschwörungsteorie für Ground Zero?

(max

Zeichen )

gilgamesch4711 aktiv_icon

16:00 Uhr, 03.09.2018

Und dann späte

r

als Student in der QM, da wurde mir das klar. All die Drehungen, Verschiebungen und " Umwendungen " sind im Grunde nur Matrizen.
Doch komisch. Wenn Thierbach fragt, was gibt eine Drehung ° Umwendung ( nämlich seine " Schubumwendung " ) da vergibt er sich was. Nämlich genau an diesr Stelle hätte er den Gruppenbegriff einführen können. Oder darf man das laut Rahmenrichtlinie in Kl. 6 noch nicht?
Statt dessen hatten wir ein " Regelheft " zu führen, dessen Inhalt Thierbach uns diktierte wie ein autoritärer Sektenguru. Die Hefte sammelte er Regel mäßig ein, um sie zu kontrolieren

. .

.
Und da stand jetzt drin, welche Fixpunkte jede von Thierbachs Abbildungen hat. Wieso; darf man in Kl. 6 schon den Fixpunktsatz durchnehmen?
Wäre mir in Kl.

11

so ein Schrat mit der inversen Matrix gekommen. Ich hätte ihm wohl geantwortet, wir haben ja noch nicht mal DGL durchgenommen. Beim Hertie gab es damals ein Analysiskompendium.

2000 S

. für 9 DM mit lauter blauen und rosa Merkkästchen. Da war die ganze analysis drinne - kein wort von Matrizen.
Ja schön. ein Lehrer mag ja mal zart andeuten, wenn du ein LGS lösest, dann wird aus der KM ihre inverse. Aber mehr doch wohl auch nicht. Zur Berechnung von Inversen fehlt dir in der Schule schlicht und ergreifend jede Motivation.
Diesem Schüler wollte ich einfach die Wahrheit sagen. Was immer er daraus macht. Seifert, unser Feuerzangenlehrer in oiiigaaanischer Kämmie

" Doo kannst einem Schööler noch nächt tie Wahrheit ßßagen.
Auch äch war ja mal jong. Oond da frackte äch mäch:
Was will uns der alte Depp da vorne eigentlich sagen? - Ja Roland? "
( lispelt )" Aber Hr. Seifert; mir

d \cup n

Sie doch für kaan Depp net halte

. .

. "

" Roland

!!!

Dass ausgerechnet du mir das vorhältst. Das beweist mir, dass du mich mit Sicherheit für einen hältst

. .

. "

Aber da gab es ganz andere Nobelpreisträger. Von Kollegen Simon berichtete uns Seifert ( absolut glaubhaft

),

jener habe versucht, einer Kl. 7 die Integralrechnung beizubringen
( Ich selbst habe mit im ähnliche Erfahrungen gemacht, wenn auch nicht annähernd so krass. ) Noch nie hatte Seifert ein Blatt vor den Mund genommen; und so erfahren wir denn, dass Simon ( im Kollegenkreise

!)

auf den Spitznamen " Vollgenie " hört.
Bitte beachte die Selbstbezüglichkeit hinter Seiferts zynischer Feststellung

" MEINE Buben kommen nächt an tisse Anßßtalt. Natürlich ließe sich da immer was machen, dass die nicht zu Pappi in die Klasse müssen.
Aber jjetzt stellt euch mal vor, die kommen mittags nach Hause und unterbreiten mir ihre sog. Ansichten über dieses Vollgenie.
Nie wieder könnte ich Kollegen Simon unbefangen in die Augen sehen

. .

. "

abakus

16:07 Uhr, 03.09.2018

Fein formuliert.

Und wann ist der nächste Treff deiner Selbsthilfegruppe?

Lennja aktiv_icon

20:19 Uhr, 04.09.2018

Guten Abend Roman-22

Ich verstehe nicht, wie du auf diesen Grenzwert gekommen bist.

Mit freundlichen Grüssen

Lennja

supporter aktiv_icon

20:46 Uhr, 04.09.2018

Als Schüler lernt man das einfach als Grundintegral:
http//www.mathe.tu-freiberg.de/files/personal/111/grundintegrale.pdf

abakus

20:58 Uhr, 04.09.2018

"Als Schüler lernt man das einfach als Grundintegral:"

Gilgamesch ist also nicht mehr der Einzige mit sinnfreien oder nutzlosen Antworten.

Du haust hier "Als Schüler lernt man..." heraus und zitierst dann eine Uni-Seite mit Integralen, von denen die meisten Schüler bisher nur die wenigsten in der Schule kennenlernen durften.

Dass die Frage sich auf einen bestimmten Grenzwert in Romans Beitrag und nicht auf irgendwelche auswendig zu könnenden Stammfunktionen bezog, ist dir wohl mangels Lesekompetenz entgangen.

Lennja aktiv_icon

21:53 Uhr, 04.09.2018

Guten Abend Roman-22

Ich verstehe nicht, wie du auf diesen Grenzwert gekommen bist.

Mit freundlichen Grüssen

Lennja

supporter aktiv_icon

08:05 Uhr, 05.09.2018

Ich lese keine Romane von Roman mehr.
Meines Wissens muss kein Schüler dieses Integral herleiten.
Solche Fragen gehören in das Studentenforum.
Dass Roman den Schüler damit überfordert, sieht man ja.

gilgamesch4711 aktiv_icon

14:00 Uhr, 05.09.2018

Lenya; hast du irgendeine Beziehung zu Frankfurt? Wir kennen da zwei Sprichwörter, die sich über Umstandskrämer lustig machen.

" Mer kann sisch aach en Loch ins Knie bohrn

u n n

drin Kaffee koche. "
" Mer kann sisch aach uff de Kopp stelle

u n n

mit die Baa ( Beinen ) Micke fange

. .

. "

Das Ende der ganzen Kontroverse, auf die du dich da eingelassen hast mit Rororo und Pipapo und weiß Gott wem noch. Du sollst einfach glauben, dass Logaritmus die Aufleitung der Normalhyperbel ist. Das Selbe sagt dir Prof . Neunzert; und ihm ist es, wie du weißt, gelungen, mich für seine Sicht der Dinge zu begeistern.
Hast du den Gang meiner Argumentation verstanden? Dürfte eigentlich so schwer nicht sein. Sind noch Fragen?
Dann mach dir diesen einfachen Standpunkt zu Eigen ( Du wurdest dazu verführt, Fragen zu stellen, wo gar keine sind - ganz typisch die Straße, auf der man - oh Entschuldigung; frau - zum Strukturalisten wird. )

ermanus aktiv_icon

14:53 Uhr, 05.09.2018

Hallo,

auch wenn gilgamesch und supporter es anscheinend nicht begreifen oder
absichtlich ignorieren;
die Schülerin möchte folgende Frage beantwortet haben:

Beitrag 22:53 Uhr, 01.09.2018:
"Das weiss ich schon. Aber wie kommt man darauf,
dass die Gesamtfläche und der Abstand logarithmisch ist?
Saint-Vincent stellte es fest, dass der Zusammenhang logarithmisch ist."

Weder gilgamesch noch supporter sind bereit, diese Frage zu beantworten.
Da lese ich doch lieber Romane oder verwende meinen Abakus ;-)

Hier kommt ein anschaulicher Versuch:

Sei

F (c, d)

die Fläche uner der Hyperbel zwischen

x = c

und

x = d

Klar ist

F (1, a b) = F (1, a) + F (a, a b)

, indem man die Fläche von

1

bis

a b

an der Stelle

x = a

zerschneidet.

Nun ist aber

F (a, a b) = F (1, b)

; denn wenn man die Streckung

x \mapsto a \cdot x

x

-Richtung und die "Stauchung"

y \mapsto \frac{1}{a} \cdot y

in der

y

-Richtung durchführt, ändert sich die Fläche nicht.

Sei nun

L (a) := F (1, a)

.
Dann gilt somit

L (a b) = L (a) + L (b)

, wenigstens schon mal für

a, b \geq 1

.
Damit hat

L

die Eigenschaft eines Logarithmus.

Gruß ermanus

Lennja aktiv_icon

17:41 Uhr, 05.09.2018

Guten Nachmittag Ermanus

Den logarithmischen Zusammenhang habe ich schon verstanden. Meine Frage war, wie man diesen Grenzwert rechnet:

lim_{q \to 1} q^{\frac{1}{q - 1}} = e

Gruss

Lennja :-)

ermanus aktiv_icon

17:49 Uhr, 05.09.2018

Sei

q = 1 + \frac{1}{n}

. Dann gilt

q \to 1 \overset{}{\Leftrightarrow} n \to \infty

,
also

lim_{q \to 1} q^{\frac{1}{q - 1}} = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

supporter aktiv_icon

17:56 Uhr, 05.09.2018

Wie soll ein Schüler auf sowas kommen?

Lennja aktiv_icon

18:00 Uhr, 05.09.2018

Guten Abend Ermanus

Warum setzt du für

q = 1 + \frac{1}{n}

ein?

Gruss

Lennja

ermanus aktiv_icon

18:05 Uhr, 05.09.2018

Wenn sich

q

der

1

beliebig nähern soll, dann unterscheidet ich
die Differenz

q - 1

immer weniger von

0

, d.h.

q - 1 \to 0

.
Nun suche ich mir eine Standardfolge, die sich immer mehr der 0 nähert,
das ist in einem ersten Versuch wohl immer die Standardnullfolge

\frac{1}{n}

.
Daher setze ich mal versuchsweise

q - 1 = \frac{1}{n}

, also

q = 1 + \frac{1}{n}

,
in der Hoffnung, dass ich damit ans Ziel komme ;-)

Lennja aktiv_icon

18:12 Uhr, 05.09.2018

Guten Abend Ermanus

Danke für deine Hilfe! Und wie nennt man das Vorgehen, wenn man eine Standardfolge sucht?

Gruss

Lennja

ermanus aktiv_icon

18:19 Uhr, 05.09.2018

Das hat keinen Namen ( man könnte es "Nachdenken" nennen ;-) ;-) ).
Nein im Ernst, zur Bestimmung von Grenzwerten kann man in vielen Fällen
geeignete Folgen

q_{n}

betrachten, um deren Grenzverhalten zu nutzen.
In unserem Falle hätte man auch mit den Mitteln der Differentialrechnung
arbeiten können, z.B. mit dem Satz von l'Hospital. Das wollte ich aber
hier nicht voraussetzen ...

Gruß ermanus

Lennja aktiv_icon

18:22 Uhr, 05.09.2018

Hallo Ermanus

oke:-) Kannst du es mit dem Satz von l'hospital zeigen, wenn du noch Zeit hast?

Gruss
Lennja

ermanus aktiv_icon

18:35 Uhr, 05.09.2018

Ich zeige

lim_{q \to 1} \ln (q^{\frac{1}{q - 1}}) = \ln (e) = 1

.
Da die

e

-Funktion stetig ist, gilt dann auch die Behauptung.

lim_{q \to 1} \ln (q^{\frac{1}{q - 1}}) = lim_{q \to 1} \frac{1}{q - 1} \ln (q) = lim_{q \to 1} \frac{\ln (q)}{q - 1} =

Jetzt Zähler und Nenner jeweils gesondert nach

q

ableiten (l'Hospital):

= lim_{q \to 1} \frac{\ln (q) ʹ}{(q - 1) ʹ} = lim_{q \to 1} \frac{\frac{1}{q}}{1} = lim_{q \to 1} \frac{1}{q} = 1

.

Gruß ermanus

Lennja aktiv_icon

18:44 Uhr, 05.09.2018

Guten Abend Ermanus

Danke für deine Hilfe!

Gruss

Lennja :-)

Lennja aktiv_icon

20:37 Uhr, 05.09.2018

Guten Abend

Ich habe noch eine Frage. Warum muss gerade den Grenwert rechnen, um auf

e

zu kommen.

lim_{q \to 1} q^{\frac{1}{q - 1}} = e

Gruss

Lennja

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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