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Flächenberechnung Quadrat - Kreisausschnitt

Lehrer

Tags: Fläche, Kreisausschnitt, Quadrat

pdurst

08:36 Uhr, 12.05.2009

Hallo,

bevor ich mir noch länger den Kopf zerbreche - ich komme nicht drauf!
Die Aufgabe lautet:
Berechne den Flächeninhalt der blauen Fläche. Die Kantenlänge des Quadrats beträgt $40$ cm.

Die Lösung lautet $A = a^{2} (1 -$ √3/4 - π/6) ≈ $0,043 a^{2}; A$ ≈ $68,8$ cm^2

Allerdings habe ich keine Ahnung wie das Ergebnis zustande kommt. Hat jemand einen Ansatz?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Wurzelgesetze

Edddi aktiv_icon

09:00 Uhr, 12.05.2009

...Verbinde mal die beiden unteren Eckpunkte des Quadrats mit dem Schnittpunkt der Beiden Bögen.

Du erhälst ein gleichseitiges Dreieck mit $r - r - r$ und 2 Kreissektoren.

Der Winkel des Sektors ist einfach zu bestimmen, da Innewinkel eines gleichseitigen Dreiecks = 3*60° sind.

Macht also 30° für die beiden Sektoren.

$...$

:-)

anonymous

09:15 Uhr, 12.05.2009

Hi,

oder so einfach:

Quadrat:

$40 \cdot 40 = 1.600;$

1. Kreis:

$f (x) = \sqrt{1.600 - x^{2}};$

2. Kreis:

$f (x) = \sqrt{1.600 - {(x - 40)}^{2}};$

Schnittpunkt:

$\sqrt{1.600 - x^{2}} = \sqrt{1.600 - {(x - 40)}^{2}};$

$x = 20;$

Rechnung:

Fläche = Quadrat - Integral(1. Kreis $(0 - 20) + 2$ . Kreis $(20 - 40));$

Fläche $= 1.600 - (\frac{200 \cdot (3 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot π)}{3}) + (\frac{200 \cdot (3 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot π)}{3});$

Fläche $= 1.600 - 2 (\frac{200 \cdot (3 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot π)}{3});$

Fläche $= 69,4216360152 F E;$

quiche

Edddi aktiv_icon

09:32 Uhr, 12.05.2009

Also gut:

Gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $r$ (=Kantenlänge des Quadrats)

$A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^{2}$

2 Kreissektoren mit je 30° $= 1$ Kreissektor mit 60° $= \frac{Π}{3}$

Fläche über einfache Verhältnisgleichung:

$\frac{Π \cdot r^{2}}{A} = \frac{2 \cdot Π}{\frac{Π}{3}}$

$A = Π \cdot \frac{r^{2}}{6}$

Diese beiden Flächen jetzt vom Quadrat abziehen:

$A = r^{2} - (\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^{2}) - (Π \cdot \frac{r^{2}}{6}) = r^{2} \cdot (1 - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{Π}{6}) = r^{2} \cdot 0,0433885 ... .$

$A \approx 40^{2} \cdot 0,0433885$

$A \approx 69,4216$

pdurst

10:09 Uhr, 12.05.2009

Hallo Edddi,

Danke für deinen Tipp! Ich habe nach deiner ersten Antwort mich an die Aufgabe gemacht und gerechnet. Hatte das mit dem gleichseitigen Dreieck nicht gesehen. Bin dann aber mit dem Ansatz auf beide Lösungen gekommen (Formel $+$ Ergebnis).
In deinem zweiten Ansatz erklärst du es noch einmal ausführlich, allerdings ist die Verhältnisgeleichung für mich zu hoch ;-)
Mein Ansatz ist: Quadrat - 2*Viertelkreis $+$ gleichs. Dreieck $+$ 2*(Kreisausschnitt mit 60° - gleichs. Dreieck)
Klingt kompliziert, ist aber für mich klar nachvollziehbar.
Danke auch an "quiche", aber Integralrechnung ist für mich über ein Jahrzehnt entfernt und ich habe mich seitdem nicht mehr damit befasst. Aber wohl dem der es kann! Scheint ja ein sehr schneller und klassicher Lösungsweg zu sein, den ich allerdings nicht nachvollziehen kann! Sorry! Bin eben nur aus BW. Dass aber $14$ jährige Gymnasiastinnen aus Bayern mich hier mit Integralrechnung überrollen verblüfft mich doch etwas und lässt mich stark an der wahren Identität des Users zweifeln ;-)

Danke und Gruß

pdurst

Edddi aktiv_icon

10:28 Uhr, 12.05.2009

...falls du's noch liest:

An der Verhältnissgleichung ist nichts aufregendes dran...in Worten:

(Fläche des Kreises) zu (Fläche Kreissektor) = (Voller Winkel 360°) zu (Winkel Kreissektor 60°)

$(Π \cdot r^{2})$ zu (A) $= \frac{360}{60} = 6$ und damit $A = \frac{Π \cdot r^{2}}{6}$

...ich hatte statt Winkel in Grad nur das Bogenmass genutzt, da entsprechen 360°= $2 \cdot Π$ (Umfang des Einheitskreises) und eben 60°= $\frac{2 \cdot Π}{6} = \frac{Π}{3}$

...letztendlich kommt aber dasselbe raus.

So, und jetzt nochmal dein Ansatz in Kurzschreibweise:

A=Q-2*VK+gsD+2*(KA60-gsD)

...hier kannst du ausmultiplizieren:

A=Q-2*VK+gsD+2*KA60-2*gsD

A=Q-2*VK-gsD+2*KA60

A=Q-gsD-2*(VK-KA60)

A=Q-gsD-2*(KA30)

A=Q-gsD-KA60

...dann ist's dasselbe, wie ich's gerechnet hatte...

:-)

pdurst

10:38 Uhr, 12.05.2009

Ja, auch dass mit dem Bogenmaß hatte ich auf die schnelle nicht erkannt ;-) Peinlich!
Ist dann aber klar!

Danke nochmal!

Gruß

pdurst

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