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Flächenberechnung mit Parameter

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt

HyperNova86 aktiv_icon

22:03 Uhr, 04.09.2010

Hallo, ich erledige derzeit ein paar Übungsaufgaben und komme bei dieser leider nicht weiter:

"Gegeben sind die Parabeln

f (x) = - x^{2}

und

g (x) = x^{2} + c

. Für welche reelle Zahl

c

schließen die Kurven ein Flächenstück mit dem Inhalt

\frac{8}{3}

FE ein?"

Ich habe zuerst überlegt, dass die Zahl

c

kleiner sein muss als

0,

da sonst keine Fläche eingeschlossen werden würde. Desweiteren beinflusst

c

die Schnittpunkte der beiden Parabeln, weil mit negativem verschieben die Parabeläste der oberen breiter werden.

Ich habe die Stammfunktionen

F (x) = - \frac{1}{3} \cdot x^{3}

und

G (x) = \frac{1}{3} \cdot x^{3} + c \cdot x

ermittelt. Ich weiß auch, dass nacher während der Rechnung nach

c

umgestellt werden muss und der Betrag der Fläche als Wert verwendet werden muss. Ich habe viel probiert, aber leider weiß ich nicht wie ich die 2 Unbekannten (Xs1, Xs2,

c)

handhaben soll.

Gruß HyperNova86

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

22:31 Uhr, 04.09.2010

die Überlegung, dass

c

negativ ist, ist schon mal richtig

die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen der beiden Funktionen

die Fläche soll

\frac{8}{3}

groß sein
Fläche zwischen zwei Schaubildern ist das Integral von der Differenz der oberen und unteren begrenzenden Funktion

\int_{x_{1}}^{x_{2}} (f (x) - g (x)) d x = \frac{8}{3}

\int_{x_{1}}^{x_{2}} (- x^{2} - x^{2} - c) d x = \frac{8}{3}

\int_{x_{1}}^{x_{2}} (- 2 x^{2} - c) d x = \frac{8}{3}

x_{1}

und

x_{2}

sind die Schnittstellen von

f

und

g

- x^{2} = x^{2} + c

x_{1,2} = \pm \sqrt{(- \frac{c}{2})}

aus Symmetriegründen:

2 \cdot \int_{0}^{x_{2}} (- 2 x^{2} - c) d x = \frac{8}{3}

rechte Grenze eingesetzt:

\int_{0}^{\sqrt{(- \frac{c}{2})}} (- 2 x^{2} - c) d x = \frac{4}{3}

Fläche in Abhängigkeit von

c

berechnen:

[- \frac{2}{3} x^{3}

-cx

]_{0}^{\sqrt{(- \frac{c}{2})}} = \frac{4}{3}

- \frac{2}{3} {\sqrt{(- \frac{c}{2})}}^{3} - c \cdot \sqrt{(- \frac{c}{2})} = \frac{4}{3}

\frac{c}{3} \sqrt{(- \frac{c}{2})} - c \sqrt{(- \frac{c}{2})} = \frac{4}{3}

- \frac{2}{3} \sqrt{(- \frac{c}{2})} = \frac{4}{3 c}

\sqrt{(- \frac{c}{2})} = - \frac{2}{c}

- \frac{c}{2} = \frac{4}{c^{2}}

c^{3} = - 8

c = - 2

die Schnittstellen sind bei

x_{1,2} = \pm 1

HyperNova86 aktiv_icon

22:42 Uhr, 04.09.2010

Super Antwort! Danke vielmals!

x1,2=±(-c/2)
Dahin bin ich auch gekommen, aber bevor ich festgelegt habe, dass

c

negativ ist. Sonst wäre es natürlich möglich. Denkfehler erkannt!

HyperNova86 aktiv_icon

23:33 Uhr, 04.09.2010

Wie hast du hier umgeformt? Besonders wie hast du den Exponenten entfernt?

$- \frac{2}{3} {\sqrt{(- \frac{c}{2})}}^{3} - c \cdot \sqrt{(- \frac{c}{2})} = \frac{4}{3} \frac{c}{3} \sqrt{(- \frac{c}{2})} - c \cdot \sqrt{(- \frac{c}{2})} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} \sqrt{(- \frac{c}{2})} = \frac{4}{3 c}$

Gruß HyperNova86

michael777 aktiv_icon

09:07 Uhr, 05.09.2010

nach folgendem Prinzip:

{(\sqrt{x})}^{3} = {(\sqrt{x})}^{2} \cdot \sqrt{x} = x \cdot \sqrt{x}

- \frac{2}{3} {(\sqrt{(- \frac{c}{2})})}^{3} - c \sqrt{(- \frac{c}{2})} = - \frac{2}{3} \cdot {(\sqrt{(- \frac{c}{2})})}^{2} \cdot \sqrt{(- \frac{c}{2})} - c \sqrt{(- \frac{c}{2})} = - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{c}{2}) \cdot \sqrt{(- \frac{c}{2})} - c \sqrt{(- \frac{c}{2})}

= (\frac{c}{3} - c) \sqrt{(- \frac{c}{2})} = - \frac{2 c}{3} \sqrt{(- \frac{c}{2})}

HyperNova86 aktiv_icon

09:47 Uhr, 05.09.2010

Danke michael777 !

Ich habe bei c/3 nicht gesehen, dass es ein gekürzter zuammengefasster Bruch ist.

Gruß HyperNova86

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