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Flächenberechnung zwischen Graph, Tangente & Achse

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 9. Klassenstufe

Tags: Fläche berechnen, Flächeninhalt, Graph, Tangent

Julian1995 aktiv_icon

10:50 Uhr, 06.03.2014

Gegeben ist die Funktion

f (x) = \frac{1}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{2} x

Im Wendepunkt wird die Tangente an den Graphen der Funktion gelegt.
Berechne den Inhalt der Fläche die vom Graphen der Funktion, von der Tangente und von der x-Achse begrenzt wird.

Ich möchte mein Wissen etwas auffrischen doch ich scheitere bereits an der ersten Rechnung. Was sind hier meine ersten Schritte? könnte mir bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

10:51 Uhr, 06.03.2014

zunächst mal dreimal ableiten.
probier mal die erste Ableitung ;-)

Julian1995 aktiv_icon

11:19 Uhr, 06.03.2014

So hier meine Ableitungen. Stimmen die soweit? :-)

funke_61 aktiv_icon

11:42 Uhr, 06.03.2014

ja, die Ableitungen sind ok :-)

Jetzt den Wendepunkt bestimmen. Mein Ergebnis ist
WP(4|2)

Dann die Wendetangente aufstellen. Mein Ergbenis ist

y = - \frac{3}{2} x + 8

probier mal, ob Du auch so weit kommst
;-)

funke_61 aktiv_icon

12:46 Uhr, 06.03.2014

Um die gesuchte Fläche zu identifizieren solltest Du am besten eine Skizze der Funktion und der Wendetangente machen:
Also

z . B

. noch die Nullstellen

(x_{1} = 0, x_{2; 3} = 6)

suchen
und
beide Extrema ( H(2|4)und

T (6 | 0))

bestimmen.
Wendepunkt und Wendetangente in entsprechendes Koordinatensystem einzeichnen und dann den Graphen skizzieren).
;-)

Julian1995 aktiv_icon

13:04 Uhr, 06.03.2014

so als wendepunkt habe ich die 2. ableitung auf 0 gesetzt und 4 für

x

und dann 2 für

y

rausbekommen, so wie sie.
die formel für die wendetangente ist

y = m \cdot x + b

was muss ich machen um die aufzustellen ?

x & y

einsetzen?

funke_61 aktiv_icon

13:06 Uhr, 06.03.2014

Du brauchst für die Wendetangente noch die Steigung im Wendepunkt.
also

f' (4)

bestimmen.

Julian1995 aktiv_icon

13:17 Uhr, 06.03.2014

wie funktioniert das? ich glaub ich habe da etwas falsche gemacht

\frac{:}{}

funke_61 aktiv_icon

13:25 Uhr, 06.03.2014

stimmt schon :-)
Steigung der Wendetangente

: f' (4) = - \frac{3}{2}

Jetzt hast Du die Steigung der Wendetangente

m_{w} = - \frac{3}{2}

und den Wendepunkt

W (4 | 2)

Damit kannst Du die Geradengleichung der Wendetangente aufstellen.
;-)

funke_61 aktiv_icon

13:46 Uhr, 06.03.2014

leider habe ich jetzt keine Zeit mehr.

Wenn ich die Steigung

m = - \frac{3}{2}

und ein Punkt

W (4 | 2)

einer Geraden bekannt sind, dann würde ich hier den Ansatz

y = - \frac{3}{2} x + b

verwenden. Setze in diesen Ansatz die beiden Koordinaten des Wendepunktes ein. Dies ergibt eine Bestimmungsgleichung für

b

.

Zur Kontrolle: Mein Ergebnis für die gesuchte Fläche ist:

A = \int_{4}^{6} (\frac{1}{8} x^{3} - \frac{3}{2} x^{3} + \frac{9}{2} x) d x - \int_{4}^{\frac{16}{3}} (- \frac{3}{2} x + 8) d x

A = \frac{3}{2} - \frac{4}{3}

A = \frac{1}{6}

Julian1995 aktiv_icon

13:47 Uhr, 06.03.2014

ahh verstehe, jzt habe ich den x&y-wert vom wendepunkt und

K

in die formel

: y = k \cdot x + d

eingesetzt, bekomme für

d = 8

raus. also ist die formel

y = - \frac{3}{2} x + 8

so wie bei dir. wie gehts weiter ? :-)

funke_61 aktiv_icon

13:50 Uhr, 06.03.2014

Wie es weitergeht, habe ich oben im Beitrag

12 : 46

Uhr,

06.03.2014

angegeben.
Jemand anders hilft Dir sicher weiter.
;-)

Julian1995 aktiv_icon

14:50 Uhr, 06.03.2014

wie es weiter geht ist mir noch nicht ganz klar, aber vielen dank ! :-)

Werner-Salomon aktiv_icon

22:59 Uhr, 06.03.2014

Ich würde Dir in jeden Fall empfehlen, eine Skizze zu machen. Dann sieht man auch, dass die Aufgabe mehrdeutig ist. Zum einen gibt es das Gebiet von 0 bis 16/3, was von Kurve (blau), Tangente(rot) und X-Achse begrenzt wird und zum anderen das keine Stück auf der andern Seite der Tangente, welches von unten durch Tangente und X-Achse und von oben durch die Kurve begrenzt ist.
funke_61 hat das kleine Stück rechts berechnet.

funke_61 hat das Integral der Tangente in den Grenzen 4 bis 16/3 berechnet und es von dem Integral der Kurve in den Grenzen 4 bis 6 (6 ist eine Nullstelle) abgezogen. Die Differenz ist die Fläche des kleine Stücks rechts von der Tangente.

Was ist Dir nicht klar?

Gruß
Werner

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