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Flächeninhalt einer logarithmischen Spirale

Universität / Fachhochschule

Tags: Flächeninhalt, Logarithmische-Spirale

Charlie83 aktiv_icon

21:27 Uhr, 22.02.2010

Hallo zusammen,

Ich habe hier eine logarithmische Spirale und soll in dem angegebenen Bereich die Fläche ausrechnen. Aber irgendwie bekomme ich kein Ansatz hin. Vielleicht hat von euch ja einer ne Idee wie ich am besten anfange.

r (φ) = e^{0,1 φ}

In dem Bereich

\frac{3}{π} < φ < \frac{3}{2} π

Mein Lösungsansatz ist bis jetzt folgender:

A = \int

von

\frac{3}{2} π

bis

\frac{π}{3} \cdot \int

von

e^{0,1 φ}

bis

φ = 0 \cdot r

d φ

Ist das soweit richtig?
Es geht mir nur um Hilfe, und nicht um die komplette Lösung. Wäre super wenn mir einer helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

johannes2010 aktiv_icon

23:20 Uhr, 22.02.2010

A = \int_{\frac{3}{2} π}^{\frac{π}{3}} \int_{e^{0.01 \frac{3}{2} π}}^{e^{0.01 φ}} r d r d φ = \int_{\frac{3}{2} π}^{\frac{π}{3}} \int_{e^{0.01 \frac{3}{2} π}}^{e^{0.01 φ}} r \frac{d r}{d φ} d φ d φ = \int_{\frac{3}{2} π}^{\frac{π}{3}} \int_{\frac{3}{2} π}^{φ} e^{0.01 φ} 0.01 e^{0.01 φ} d φ d φ

dürfte passen

ahmedhos aktiv_icon

23:33 Uhr, 22.02.2010

Das ganze bitte kopieren!

1)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28r%2C%28phi%2C3%2Fpi%2C3*pi%2F2%29%2C%28r%2C0%2Ce^%280.1*phi%29%29%29

2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2+*+integrate%28%28e^%280.1*phi%29%29^2%2C%28phi%2C3%2Fpi%2C3*pi%2F2%29%29

Also entweder die Standardvariante

\int_{φ_{1}}^{φ_{2}} \int_{0}^{r (φ)} r d φ d r

oder die gewoehnungsbeduerftige geometrische herleitbare Variante

\frac{1}{2} \cdot \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} {(r (φ))}^{2} d φ

Danke fuer den Klick bzw. die Spende!

=)

www.Profitmails.de/bettel.php?user=ahmed

wobei man aus der 1.Variante die 2.Variante ablesen kann.

Hier ist ein Bild von deiner Flaeche:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot++e^%280.1*phi%29+from+pi%2F3+to+3*pi%2F2

johannes2010 aktiv_icon

10:43 Uhr, 23.02.2010

Ok.Ok.

r_{(φ)}

habe ich falsch abgeschrieben (0.1 statt 0.01). Die Integrationsgrenzen passen auch nicht. Sorry. Das Vorgehen jedoch schon (meiner Meinung nach). Ablesen kann man die 2.te Formel von ... nicht und funktioniert auch nur, wenn die untere Integralgrenze

r = 0

also

φ = - \infty

ist.

Hier mal der Weg:

I = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{3 π}{2}} \int_{\frac{3}{π}}^{φ} r_{(ν)} r_{(ν)} 0.1 d ν d φ = 0.1 \int_{\frac{3}{π}}^{\frac{3 π}{2}} [({r_{(ν)} \int r_{(ν)} d ν ∣}_{\frac{3}{π}}^{φ}) - \int_{\frac{3}{π}}^{φ} (\int r_{(ν)} d ν \frac{d r_{(ν)}}{d ν}) d ν] d φ

= \int_{\frac{3}{π}}^{\frac{3 π}{2}} {{(e^{0.1 ν})}^{2} ∣}_{\frac{3}{π}}^{φ} d φ - 0.1 \int_{\frac{3}{π}}^{\frac{3 π}{2}} \int_{\frac{π}{3}}^{φ} r_{(ν)} r_{(ν)} d ν d φ = \int_{\frac{3}{π}}^{\frac{3 π}{2}} {{(e^{0.1 ν})}^{2} ∣}_{\frac{3}{π}}^{φ} d φ - I

\Rightarrow I = \frac{1}{2} \int_{\frac{3}{π}}^{\frac{3 π}{2}} {{(e^{0.1 ν})}^{2} ∣}_{\frac{3}{π}}^{φ} d φ = \frac{1}{2} \int_{\frac{3}{π}}^{\frac{3 π}{2}} {(e^{0.1 φ})}^{2} - {(e^{0.1 \frac{3}{π}})}^{2} d φ

I = \frac{1}{2} \int_{\frac{3}{π}}^{\frac{3 π}{2}} r_{(φ)}^{2} d φ - \frac{1}{2} \int_{\frac{3}{π}}^{\frac{3 π}{2}} {(e^{0.1 \frac{3}{π}})}^{2} d φ

Der hintere Teil fehlt und fällt nur weg, wenn man anstatt

\frac{3}{π}

im Exponenten

- \infty

einsetzt (

r_{(- \infty)} = e^{- 0.1 \infty} = 0

). Die angegebenen mathematica-seiten stimmen überein, da für den Ansatz I. die untere Grenze

r = 0

gesetzt wurde.
Hoffentlich passt es jetzt :-)

zum Vergleich:

richtig:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate(r%2C(phi%2C3%2Fpi%2C3*pi%2F2)%2C(r%2Ce^(0.1*3%2Fpi)%2Ce^(0.1*phi)))

http//www.wolframalpha.com/input
/?i=1%2F2+*+integrate(((e^(0.1*phi))^2-(e^(0.1*3%2Fpi))^2)%2C(phi%2C3%2Fpi%2C3*pi%2F2))

falsch:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2+*+integrate(((e^(0.1*phi))^2-(e^(-0.1*inf))^2)%2C(phi%2C3%2Fpi%2C3*pi%2F2))

ahmedhos aktiv_icon

12:41 Uhr, 23.02.2010

Hi,

Gesucht ist eine Flaeche