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Flächeninhalt eines Parallelogramms (Vektoren)
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Flächeninhalt, Vektor
 
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Hallo zusammen :-) In der Aufgabe geht es um eine Pyramide. Um die zu berechnen brauche ich den Flächeninhalt der Grundfläche. Wie kann ich den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen, wenn ich alle Punkte kenne und somit auch die Länge der Vektoren? A(0/4/2), B(6/4/2), C(10/8/2), D(4/8/2) Der Betrag des Vektors AB ist 6 und von BC ist 5,66. Wie kann ich den Flächeninhalt berechnen? Danke im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Die Flächeninhaltsformel eines Parallelogramms ist: g=|AB|=6 ist der Abstand der Punktes von der Geraden durch A und B. Weißt du wie man den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnet? |
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Das verstehe ich nicht richtig. Es gibt doch keinen Abstand vom Punkt B zur der Gerade AB. Die Gerade AB endet doch im Punkt B? Danke schonmal^^ |
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Sorry hatte mich verschrieben. Natürlich des Punktes (du kannst auch nehmen) von der Geraden AB |
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Achso^^ Ich weiß nicht wie man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnet. Ist der Abstand nicht überall verschieden groß? Oder meint man den kleinsten Abstand? |
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Die Gerade CD ist ja parallel zur Geraden AB (Ist ja ein Parallelogramm :-D)). Deshalb ist der Abstand von jedem Punkt zum Punkt gleich groß. Wobei die Gerade durch PP' orthogonal zu sowohl der Gerade AB als auch zu der Gerade CD ist. Ich weiß jetzt gerade nicht ob es noch einen anderen, einfacheren Weg zur Bestimmung der Höhe gibt, wenn ihr das mit dem Abstand eines Punktes von einer Gerade noch nicht gemacht habt. Du machst dir dort folgende zwei Fakten zu nutze. (Wir machen das ganze jetzt mal mit dem Punkt . Also wir suchen ja den Punkt auf der Geraden AB, um die Länge der Strecke DD' ausrechnen zu können, die unser ist. Der Punkt liegt auf der Gerade AB Die Gerade DD' schneidet die Geraden AB und CD jeweils orthogonal. Stell mit der 1 Bedingung den DD' Vektor allgemein auf. Jetzt machst du mit diesem Vektor das Skalarprodukt mit dem Vektor AB. Das muss gleich 0 sein wegen der Orthogonalität. Damit kannst du nach deinem Parameter in DD' auflösen und den dort wieder einsetzen. Dann kannst du ganz normal den Betrag von DD' ausrechnen, der dann die Höhe ist |
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Ich verstehe nicht ganz wie ich den DD' Vektor aufstellen kann. Also D ist ja (4/8/2) und der Vektor AB ist (6/0/0) (Weiß nicht wie ich das hier als Vektor aufschreibe). Aber wie kann ich jetzt DD' bestimmen? |
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Ich tu mich auch mit der Vektorschreibweise hier im Forum etwas schwer. Der nimmt das irgendwie nie so an wie ich das haben will. Aber ich hoffe du verstehst das dennoch: DD'=OD'-OD OD' kann man mit der Gerade AB: beschreiben (siehe bedingung . Diese Gerade setzen wir jetzt für OD' ein: DD'= Jetzt hast du den DD' Vektor allgemein. Jetzt zur zweiten Bedingung: Das wieder für DD' einsetzen und den Betrag des Vektors ausrechnen. Dann hast du deine höhe :-) |
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Ich verstehe nicht ganz wie du auf AB: Vektor x=... kommst. Könntest du mir das nochmal genauer erklären? Danke :-) Außerdem rechnest du im nächsten Schritt doch OD' - D und nicht minus OD oder? |
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Ich habe die Gerade durch A und aufgestellt mit OA als Stützvektor und AB als richtungsvektor. Also =OA+r*AB. Ein Vektor OD heißt Ortsvektor des Punktes D. Also ein Vektor, der den Punkt beschreibt. Du kannst nicht einfach Vektor schreiben, weil du dir einen Vektor immer als einen Pfeil vorstellen musst. Und ein Pfeil hat immer ein Anfang und ein Ende. steht hierbei für den Ursprung. Bei OD . ist das sozusagen der Pfeil vom Ursprung zum Punkt D. Aber der Ursprung hat ja die Koordinaten und verändert damit deinen Punkt nicht. Also bietet es sich ja an den Punkt so zu beschreiben, wenn du mit Vektoren rechnest. Sonst hast du eben nur einen Punkt und keinen Vektor. |
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Hey Ich hätte da noch einen anderen Ansatz :-) Die Länge AB hast du ja schon, fehlt nur noch die Höhe . Ich führe als erstes noch den Fusspunkt von ein. Wenn du nun den Abstand von AH kennst kannst du mit Pythagoras ausrechnen. Das wäre dann AD^2+AH^2=g^2. AH bekommst du mithilfe des Skalarproduktes. also <AD,AH> und noch durch 6 dividieren. Hoffe das hilft dir weiter |
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sry hab mit verwechselt. Hoffe es hat dich nicht verwirrt^^ |
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Ah danke ich glaube ich habs verstanden! :-) Ich habe für die Höhe 6 raus. Stimmt das? |
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Mit meiner Rechnung wäre das eigentlich wenn ich mich nicht irgendwo verrechnet habe. |
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Ich habe folgendes gerechnet: (0/4/2) + 2/3 mal (6/0/0) Daraus folgt (0/4/2)+(4/0/0)= (4/4/2) Davon der Betrag ist Wurzel aus 36= 6. Habe ich einen Fehler gemacht? |
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Du hast die Koordinaten von ausgerechnet. Aber du brauchst ja die Länge des Vektors DD' ;-) |
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Ach ja stimmt. Jetzt komme ich auch für 4 für die Höhe. :-) Also ist der Flächeninhalt des Parallelogramms: 6*4=24? |
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müsste stimmen ;-) |
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Dann verstehe ich aber nicht warum das Volumen falsch ist. Das Volumen einer Pyramide berechnet man doch so: Grundfäche mal Höhe. Die Höhe habe ich mit 2 Punkten berechnet: F(5/6/2) und S(5/6/8). Daraus folgt FS= (0/0/6), also ist die Höhe 6. Wenn ich dann 24 mal 6 rechne erhalte ich 144. Es muss aber 48 raus kommen. Habe ihr hier einen Fehler gemacht? |
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Die Formel für das Volumen einer Pyramide lautet: Damit kriegst du auch das richtige Ergebnis ;-) |
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Ah stimmt! Vielen vielen Dank für deine Hilfe! :-) Da hattest du aber viel Geduld mit mir. ;-) |
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Man kann ja nicht alles auf Anhieb verstehen ;-) Muss eh fürs Abi Mathe lernen :-) |
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Na wenn das so ist bringts dir ja auch was! ;-) |
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