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Flächeninhalt gleich Determinante
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Tags: Abbildungsmatrix, Determinant, Flächeninhalt, Linear Abbildung, Parallelogramm, Vektor
 
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Hallo, wir haben die Matrix . Wir betrachten die Vektoren und . 1. Überlegen Sie geometrisch, warum der Flächeninhalt des von und aufgespannten Parallelogramms gleich ist. 2. Interpretieren Sie den Fall . Was lässt sich über die Abbildung , sagen? Ist injektiv? Könnt ihr mit ein Tipp bei 1. geben? Wie kann man das geometrisch erklären? Das aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt gleich das Kreuzprodukt, oder nicht? Kann man das einfach benutzen? Was 2. angeht, wenn die Determinante gleich Null ist, dann folgt es dass die Abbildung injektiv ist. Aber wir kann man das erklären? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms Flächeninhalte Flächenmessung Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreisteile: Berechnungen am Kreis Flächeninhalt und Umfang eines Parallelogramms Flächeninhalte Flächenmessung Kreis: Umfang und Flächeninhalt Kreisteile: Berechnungen am Kreis |
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Hallo, da du die Koordinaten der Ecken des Parallelogramms leicht aus den Vektorkoordinaten ermitteln kannst, besteht die Aufgabe darin, elementargeometrisch die Parallelogrammfläche mit den bekannten Formeln für Dreiecks- und Rechtecksflächen zu berechnen, so wie man es in der Schule macht ;-) Das Kreuzprodukt kannst du nicht verwenden, da dieses ja bereits auf der Theorie der Determinanten im 3-dimensionalen beruht. Gruß ermanus |
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Die Eckpunkte der Vektoren sind und . Betrachten wir also jetzt das Dreieck das entsteht? Dazu brauchen wir die Höhe. Wie kann man das Rechteck hier benutzen? |
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Hallo, du kannst die angehängte Flächenaufteilung verwenden ... Gruß ermanus  |
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Danke für die Skizze! Habe diese Teilaufgabe geschafft! Könntest du mir noch ein Tipp geben für den zweiten Teil? |
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Da die Determinante gleich Null ist, folgt es dass die Vektoren die das Parallelogramm aufspannen linear abhängig. Aber wie kann man davon folgen dass injektiv ist? |
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Hallo, ist genau dann der Fall, wenn NICHT injektiv ist. Gruß ermanus |
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besagt, dass die Vektoren linear abhängig sind, dass also oBdA. ein Skalar existiert mit . Versuche hieraus zu zeigen, dass nicht injektiv ist. |
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