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Flächeninhalt von Vielecken

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: Formel, Gründe

Dorooo aktiv_icon

19:24 Uhr, 17.04.2009

Hallo ,
ich hoffe ihr könnt mir ein wenig weiter helfen .
Also ich muss in mathe einen vortrag halten über Flächeninhalte von Vielecken .
Speziell geht es darum wieso

z . B

. für ein Rechteck

a x b

gilt und nichts anderes sonder nur diese formel .
Und ich soll erklären wieso diese formel für das jeweilige Vieleck gilt.
Und ehrlich gesagt kann ich garnicht richtig erklären wieso das so ist .
Und ich soll dann auch an beispielen zeigen dass nur diese eine formel für das jeweilige vieleck gilt . Und ich hoffe ihr könnt mir das erklären oder so .

eure doro

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

19:30 Uhr, 17.04.2009

Hi,

meinst du spezielle Vielecke (Trapez, Raute (Rhombos), Dreieck(rechtwinklig, gleichseitig,...),Drachen,Parallelogramm,...)
oder allgemeine Vielecke?

mfg

Dorooo aktiv_icon

19:46 Uhr, 17.04.2009

ich meine nur Rechteck , parallelogramm , dreieck und trapez

anonymous

20:01 Uhr, 17.04.2009

Parallelogramm:

die Dicken Linien Bilden ein Parallelogramm. und die grüne Linie ist die Höhe des Parallelogramms.

Nun habe ich eine Ecke (das Dreieck BDE) abgeschnitten und an die andere Seite "angeklebt". Da die beiden Dreiecke kongruent sind, wurde die Fläche nicht verändert.

Somit ist die Fläche des Parallelogramms gleich der Fläche des neu entstandenen Rechtecks...

guck doch mal ob du damit etwas anfangen kannst..

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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Dorooo aktiv_icon

12:59 Uhr, 19.04.2009

Also mein Mathe lehrer hat noch so zu mir gesagt also da gibst einfache erklärungen zu die kann man einfach im internet rausfinden

\land

aber ich finde nichts .
Und ich dachte jetzt da gibt es irgenteine einfache erklärung wieso halt für ein rechteck zb. gilt axb und NICHTS anderes .

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13:11 Uhr, 19.04.2009

Du kannst es ja so veranschaulichen: Angenommen, das Rechteck ist auf ein kariertes Blatt Papier aufgemalt und ist a Kästchen breit und

b

Kästchen hoch. Dann ist die Fläche des Rechtecks gleich der Anzahl der Kästchen im Rechteck. Und nachdem in jeder Kästchenreihe a Kästchen sind und es

b

Reihen gilt, muss es insgesamt

a x b

Kästchen geben.

Dorooo aktiv_icon

13:16 Uhr, 19.04.2009

Ja klingt gut und dass kannste soll ich dann auch bei Dreieck , parallelogramm und trapez auch erklären . Wieso da nur die bestimmten formel gelten und keine andern .

anonymous

13:21 Uhr, 19.04.2009

ein Dreieck ist ja ein halbes Parrallelogramm.

also: A_(Parallelogramm)*1/2 = A_(Dreieck)
und wie man auf den Flächeninhalt von einem parallelogramm kommt, habe ich dir ja schon erklärt...

P . S . :

siehe Zeichnung.

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Dorooo aktiv_icon

17:36 Uhr, 19.04.2009

Vielleicht hört sich das jetzt komisch an aber so richtig werde ich daraus nich schlau .
Also wieso das für ein rechteck so ist könnte ich jetzt erklären und bei einem Paralleogramm wie in der Zeichnung das geht auch aber beim dreieck und trapez gibts probleme .

Shipwater aktiv_icon

18:36 Uhr, 19.04.2009

Hi,

das ist eben so:

http//www.mathematik-wissen.de/flaecheninhalt_rechteck.htm

Gruß Shipwater

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18:42 Uhr, 19.04.2009

Was das Dreieck angeht: Schau mal, was passiert, wenn du ein Dreieck mit der Grundlinie п und der Höhe

h

gedreht an noch ein gleiches Dreieck "anklebst": www.rsg.rothenburg.de/wiki/images/b/be/Parallelogramm-md.jpg Es kommt genau ein Parallelogramm raus und dessen Fläche kannst du ja schon erklären. Das Dreieck hat logischerweise nur die Hälfte davon.

Shipwater aktiv_icon

18:43 Uhr, 19.04.2009

Hi,

hab nochwas gefunden:

"Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und

b

lässt sich durch a Streifen mit je

b

Einheitsquadraten vollständig auslegen. Daraus folgt die Formel zur Berechnung von Rechtecken:

A = a

•

b

. (vgl. Gellert S.

191 f)

Ein Einheitsquadrat ist definiert als die Fläche eines Quadrates mit den Seitenlängen einer bestimmten Einheit. So ist ein Quadratzentimeter ein Quadrat mit den Seitenlängen 1 cm."

Gruß Shipwater

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18:45 Uhr, 19.04.2009

@Shipwater: Mit dem Rechteck sind wir schon durch. ;-)

Shipwater aktiv_icon

19:05 Uhr, 19.04.2009

Hi,

mein Fehler. Dann zum Trapez:

Also man kann es in zwei Dreiecke teilen wie man im angefügten Bild sehen kann.
Und der Flächeninhalt jedes Dreiecks ist ja Seitenlänge

\cdot

Höhe durch

2,

also ist der Flächeninhalt des roten Dreiecks, welches ich A getauft habe:

\frac{a \cdot h}{2}

und der von dem Blauen, welchen ich

B

getauft habe:

\frac{b \cdot h}{2}

Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann die Summe der Dreiecke:

\frac{a \cdot h}{2} + \frac{b \cdot h}{2}

Hier kann man

h

ausklammern:

(\frac{a + b}{2}) \cdot h

Gruß Shipwater

Shipwater aktiv_icon

19:53 Uhr, 19.04.2009

Und hier noch ein anderer Weg zum Trapez(gilt nur für gleichschenklige):

Also wie man auch auf dem Bild sehen kann, kann man das Trapez auch in ein Rechteck und 2 Dreiecke teilen.
Das Rechteck, welches ich A getauft habe, hat einfach den Flächeninhalt

b \cdot h

Und die Dreicke

B

und

B'

sind ja identisch. Und Dreiecke haben ja die berühmte Flächeninhaltsformel: Seite

\cdot

Höhe

/ 2

Unsere Seite ist in diesem Fall

\frac{a - b}{2}

Also ist der Flächeninhalt eines Dreiecks:

\frac{1}{2} \cdot (\frac{a - b}{2}) \cdot h

Da es aber zwei Dreicke

B

gibt, ist der Flächeninhalt beider Dreiecke:

\frac{1}{2} \cdot (\frac{a - b}{2}) \cdot h \cdot 2 = (\frac{a - b}{2}) \cdot h = \frac{a h - b h}{2}

Jetzt müssen wir nur noch addieren:

b \cdot h + \frac{a h - b h}{2}

Hauptnenner 2 bilden:

\frac{2 b \cdot h}{2} + \frac{a h - b h}{2} =

\frac{2 b \cdot h + a h - b h}{2} =

\frac{b h + a h}{2} =

(\frac{a + b}{2}) \cdot h

\to

Es gehen beide Wege für Gleichschenklige, aber nur der erste für nicht gleichschenklige Trapeze.

Gruß Shipwater

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19:57 Uhr, 19.04.2009

Der zweite Weg funktioniert aber nur bei einem gleichschenkligen Trapez, der erste war besser. :-)

Shipwater aktiv_icon

19:59 Uhr, 19.04.2009

Hi,

stimmt hatte ich vergessen dazuzuschreiben, ist nun aber geschehen.

Vielen Dank

Gruß Shipwater

Dorooo aktiv_icon

21:04 Uhr, 19.04.2009

Okay ich habe jetzt soweit alles verstanden und kanns auch erklären .
Aber eins frag ich mich beim trapez noch
wieso ist es

\frac{1}{2} x (a + c) x h

? also wieso diese

\frac{1}{2}

?
also so kommt man ja dann aufs ergebnis aber ich wette wenn ich das der klasse dann erzähle kommt irgentwer und fragt ja wieso

\frac{1}{2}

? und ich wüsste ehrlich gesagt nich was ich sagen sollte xD

Shipwater aktiv_icon

21:06 Uhr, 19.04.2009

Hi,

das habe ich doch oben erklärt. Man kann es in zwei Dreiecke teilen und diese haben eben den Flächeninhalt

(a \cdot h \cdot \frac{1}{2})

bzw.

(b \cdot h \cdot \frac{1}{2})

Und wenn du diese Summanden addierst bleibt das

\frac{1}{2}

eben da:

a \cdot h \cdot \frac{1}{2} + b \cdot h \cdot \frac{1}{2} = (\frac{a + b}{2}) \cdot h

Gruß Shipwater

PS: Wenn das

\frac{1}{2}

nicht da wäre, wäre der Flächeninhalt ja falsch, siehe hier:

Dorooo aktiv_icon

21:14 Uhr, 19.04.2009

alles klaar ! habs jetzt verstanden ! Danke

Shipwater aktiv_icon

21:16 Uhr, 19.04.2009

Hallo,

das freut mich zu hören. Dann wäre der Thread fertig oder?

Gruß Shipwater

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