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Formel aus Zahlenreihe

Universität / Fachhochschule

Tags: Formel, Zahlenreihe

Feigenbaum01 aktiv_icon

16:38 Uhr, 07.02.2011

Hallo Leute ;-)

Ich hätte eine Frage:

Erkennt jemand aus der Zahlenreihe

f (x) = 4,6,8,12,14,16,20,22,24,28,30,32,36,38,40, . .

. einen Algorithmus, der diese Reihe erzeugt? Die Struktur ist ja offensichtlich, aber mir fällt keine Formel ein, bzw. ich sehe keine Formel, die mir diese Zahlenreihe erzeugt.

Danke,

Mitchell

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

16:44 Uhr, 07.02.2011

Hallo Feigenbaum,

ich meine, dass die Regel

+ 2, + 2, + 4, + 2, + 2, + 4, + 2, + 2, + 4, ...

. lautet.

Alles Gute wünscht
Atlantik

Feigenbaum01 aktiv_icon

18:16 Uhr, 07.02.2011

Hi ;-)

Ja, das hab ich schon auch gesehen, aber ich bräuchte eine Funktion, die diese Reihe erzeugt,

d . h .

x = 1

wird abgebildet auf 4

x = 2

wird abgebildet auf 6

x = 3

wird abgebildet auf 8

x = 4

wird abgebildet auf

12

x = 5

wird abgebildet auf

14

x = 6

wird abgebildet auf

16

Wie lautet die Abbildungsvorschrift? ;-)

Danke,
Feigenbaum

Bummerang

22:56 Uhr, 07.02.2011

Hallo,

die explizite Vorschrift sollte bei Start mit

n = 0

sein:

x_{n} = 4 + 2 \cdot n + 2 \cdot [\frac{n}{3}]

und die rekursive:

x_{n + 1} = x_{n} + 2 + 2 \cdot ([\frac{n + 1}{3}] - [\frac{n}{3}])

Bei Start mit

n = 1

kann man analog rechnen, indem man einfach

n

durch

(n - 1)

ersetzt.

x_{n} = 4 + 2 \cdot (n - 1) + 2 \cdot [\frac{n - 1}{3}]

x_{n + 1} = x_{n} + 2 + 2 \cdot ([\frac{n}{3}] - [\frac{n - 1}{3}])

Feigenbaum01 aktiv_icon

20:57 Uhr, 08.02.2011

Hi ;-)

Das schaut ja sehr gut aus, nur eine Frage hätte ich noch:

wie ist das "

[

n3]" zu behandeln, bzw. was heißt das, bzw. was heißt das "[n-13]"?

Danke,

Feigenbaum

Mathe-Steve aktiv_icon

21:02 Uhr, 08.02.2011

Hallo,

[x] bezeichnet die Gaußsche Klammerfunktion.

[x] ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

Gruß

Stephan

Feigenbaum01 aktiv_icon

21:09 Uhr, 08.02.2011

Kannst du eventuell bitte ein oder zwei Beispiele machen?

Feigenbaum

Mathe-Steve aktiv_icon

21:11 Uhr, 08.02.2011

[2] = 2

[2,1] = 2

[2,9999] =2

[3] =3

Also soetwas wie Abrunden.

Feigenbaum01 aktiv_icon

21:17 Uhr, 08.02.2011

Okay, das hab ich verstanden - habs mir bei Wikipedia grade durchgelesen..

Aber jetzt bei der Gleichung:

x n = 4 + 2

⋅

n + 2

⋅

[n 3]

Ich setz für

n = 2,

dann hab ich ja

x 2 = 4 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot [23]

?

Was soll das rauskommen?

Feigenbaum

Mathe-Steve aktiv_icon

21:18 Uhr, 08.02.2011

Na, [2/3]=[0,66666..]=0.

Feigenbaum01 aktiv_icon

21:21 Uhr, 08.02.2011

Ach das heißt geteilt dann ;-)

Ja, da wird einiges klar :-)

Perfekt, dann hab ich´s jetzt zur Gänze verstanden

〈

Danke euch dreien

〈

Feigenbaum

P . S

. Wie oder wo lernt man sowas rauszufinden? ;-)

Mathe-Steve aktiv_icon

21:26 Uhr, 08.02.2011

Du scheinst ein Problem mit der Anzeige mathematischer Ausdrücke zu haben.

Lies bitte in der Hilfe das Thema "Probleme bei der Anzeige..."

Bummerang

13:37 Uhr, 09.02.2011

Hallo,

im konkreten Fall kannst Du die Gauß-Klammern für die größte ganze Zahl auch ersetzen durch Dir sicher bekanntere Funktionen,

z . B

. so:

[\frac{n}{3}] = \frac{n}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n) = \frac{1}{3} \cdot (n - 2 \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n) + \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n))

Beweis:

1. Fall:

n \equiv 0 mod 3 \Leftrightarrow \exists k \in ℕ

mit

n = 3 \cdot k

\Rightarrow [\frac{n}{3}] = [\frac{3 \cdot k}{3}] = [k] = k

\frac{n}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n)

= \frac{3 \cdot k}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot 3 \cdot k) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot 3 \cdot k)

= k - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (2 \cdot π \cdot k) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (2 \cdot π \cdot k)

= k - \frac{2}{3} \cdot 0^{2} + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot 0

= k + 0 + 0

= k

2. Fall:

n \equiv 1 mod 3 \Leftrightarrow \exists k \in ℕ

mit

n = 3 \cdot k + 1

\Rightarrow [\frac{n}{3}] = [\frac{3 \cdot k + 1}{3}] = [k + \frac{1}{3}] = k

\frac{n}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n)

= \frac{3 \cdot k + 1}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot (3 \cdot k + 1)) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot (3 \cdot k + 1))

= k + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (2 \cdot π \cdot k + \frac{2 \cdot π}{3}) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (2 \cdot π \cdot k + \frac{2 \cdot π}{3})

= k + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3}) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3})

= k + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3})}^{2} + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}

= k + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 3 + \frac{1}{18} \cdot 3

= k + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{6}

= k

3. Fall:

n \equiv 2 mod 3 \Leftrightarrow \exists k \in ℕ

mit

n = 3 \cdot k + 2

\Rightarrow [\frac{n}{3}] = [\frac{3 \cdot k + 2}{3}] = [k + \frac{2}{3}] = k

\frac{n}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot n)

= \frac{3 \cdot k + 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot (3 \cdot k + 2)) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{2 \cdot π}{3} \cdot (3 \cdot k + 2))

= k + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (2 \cdot π \cdot k + \frac{4 \cdot π}{3}) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (2 \cdot π \cdot k + \frac{4 \cdot π}{3})

= k + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {sin}^{2} (\frac{4 \cdot π}{3}) + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot sin (\frac{4 \cdot π}{3})

= k + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3})}^{2} + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{3} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3})

= k + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 3 - \frac{1}{18} \cdot 3

= k + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}

= k

Aber das ist nur so eine kleine mathematische Spielerei ohne tieferen Sinn...

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