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Formel für den räumlichen Schwerpunkt

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Formel, Koordinaten, punktförmige Massen, räumlicher Schwerpunkt

Mumel

12:53 Uhr, 03.06.2009

Hey!

Also ich mach demnächst eine GFS in Mathe. Das Thema heißt "Schwerpunkt".
Den ersten teil habe ich schon fertig, bloß der zweite teil macht mir Sorgen.

Die Aufgabenstellung heißt:
Es ist eine Formel zu entwickeln und zu begründen, mit der man zunächst für

n

gleiche, dann auch für

n

verschiedene punktförmige Massen die Koordinaten des räumlichen Schwerpunkts berechnet.

So, ich blicks echt gar nich, war mein Mathelehrer mir mit punktförmigen Massen sagen will und hab keine Ahnung, was ichda für ne Formel entwickeln soll und wie des geht.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

13:27 Uhr, 03.06.2009

...für

n

gleichschwere Massen ist der Massenschwerpunkt identisch mit dem geometrischen Schwerpunkt.

...für verschiede Massepunkte sind die Massengrößen mit zu berücksichtigen.

natürlich nur mit Einschränkung hinsichtlich einer homogenen Schwerkraft (und einer homogenen Dichte, welche aber schon wegen gleichschwerer punktförmiger Massen impliziert ist)

;-)

DK2ZA aktiv_icon

16:46 Uhr, 03.06.2009

Punktmassen sind Körper, die so klein sind, dass es sinnvoll ist, ihren Ort durch einen einzigen Ortsvektor

r = (x; y; z)

zu beschreiben.

Wir betrachten zwei solche Punktmassen

m_{1}

und

m_{2},

welche sich bei

P_{1}

(Ortsvektor

r_{1} = (x_{1}; y_{1}; z_{1}))

bzw.

P_{2}

(Ortsvektor

r_{2} = (x_{2}; y_{2}; z_{2}))

befinden mögen.

Ihr gemeinsamer Schwerpunkt

S

(Ortsvektor

s = (x_{S}; y_{S}; z_{S}))

liegt auf der Verbindungsstrecke von

P_{1}

und

P_{2}

und zwar näher bei der größeren Masse.

Wir bestimmen

s

.

Die Verbindungsstrecke habe die Länge

d

. Von

P_{1}

bis

S

sei die Strecke

a,

von

P_{2}

bis

S

die Strecke

b

.

Dann gilt

a + b = d

und nach dem Hebelgesetz

a \cdot m_{1} = b \cdot m_{2}

.

Daraus folgt

a = b \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}}

a = (d - a) \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}}

a = d \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} - a \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}}

a + a \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}} = d \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}}

a \cdot (1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}) = d \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}}

a \cdot (\frac{m_{1}}{m_{1}} + \frac{m_{2}}{m_{1}}) = d \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}}

a \cdot \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}} = d \cdot \frac{m_{2}}{m_{1}}

a = d \cdot \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

\frac{a}{d} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

s

zu erhalten müssen wir also den Vektor, der von

P_{1}

nach

P_{2}

führt, nämlich

r_{2} - r_{1},

mit

\frac{a}{d}

multiplizieren und zu

r_{1}

addieren:

s = r_{1} + \frac{a}{d} \cdot (r_{2} - r_{1})

s = r_{1} + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot (r_{2} - r_{1})

s = r_{1} + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot r_{2} - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot r_{1}

s = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot r_{1} - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot r_{1} + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot r_{2}

s = \frac{m_{1}}{m 1 + m_{2}} \cdot r_{1} + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot r_{2}

s = \frac{1}{m_{1} + m_{2}} \cdot (m_{1} \cdot r_{1} + m_{2} \cdot r_{2})

Beispiel:

Körper_1:

m_{1} =

3kg,

r_{1} = (1; 0; - 1)

Körper_2:

m_{2} =

5kg,

r_{2} = (- 2; 1; 3)

s =

1/(3kg+5kg)*(3kg*r_1+5kg*r_2)

s = \frac{1}{8} \cdot ((3; 0; - 3) + (- 10; 5; 15))

s = \frac{1}{8} \cdot (- 7; 5; 12)

s = (- \frac{7}{8}; \frac{5}{8}; \frac{3}{2})

Nun soll noch ein dritter Körper hinzukommen mit der Masse

m_{3} =

2kg und dem Ortsvektor

r_{3} = (3; - 1; 1)

Körper_1 und Körper_2 können wir als einen einzigen Körper betrachten, dessen Masse 8kg beträgt und dessen Ortsvektor

s = (- \frac{7}{8}; \frac{5}{8}; \frac{3}{2})

ist.

Damit ergibt sich für den Schwerpunktsvektor sges von Körper_1, Körper_2 und Körper_3:

sges

= \frac{1}{8 + 2} \cdot (8 \cdot s + 2 \cdot r_{3})

sges=

\frac{1}{10} \cdot ((- 7; 5; 12) + (6; - 2; 2)

sges=

\frac{1}{10} \cdot (- 1; 3; 14)

sges

= (- \frac{1}{10}; \frac{3}{10}; \frac{7}{5})

Allgemein funktioniert es bei drei Körpern so:

Der Schwerpunktsvektor der ersten beiden ist

s = \frac{1}{m_{1} + m_{2}} \cdot (m_{1} \cdot r_{1} + m_{2} \cdot r_{2})

und ihre Gesamtmasse ist

m_{1} + m_{2}

.

Nun kommt der dritte hinzu mit dem Ortsvektor

r_{3}

und der Masse

m_{3}

.

Der Schwerpunktvektor für alle drei ist dann

sges

= \frac{1}{(m_{1} + m_{2}) + m_{3}} \cdot ((m_{1} + m_{2}) \cdot \frac{1}{m_{1} + m_{2}} \cdot (m_{1} \cdot r_{1} + m_{2} \cdot r_{2}) + m_{3} \cdot r_{3})

sges

= \frac{1}{m_{1} + m_{2} + m_{3}} \cdot (m_{1} \cdot r_{1} + m_{2} \cdot r_{2} + m_{3} \cdot r_{3})

Man überprüft leicht, dass diese Rechnung auch sges

= (- \frac{1}{10}; \frac{3}{10}; \frac{7}{5})

ergibt.

Man kann nun zu

4, 5, 6, . .

. Körpern übergehen.

Für

n

Körper gilt:

sn

= \frac{1}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + ... + m_{n}} \cdot (m_{1} \cdot r_{1} + m_{2} \cdot r_{2} + m_{3} \cdot r_{3} + . .

+ m_{n} \cdot r_{n})

Falls die Massen alle gleich sind, vereinfacht sich der Ausdruck zu

sn

= \frac{1}{n} \cdot (r_{1} + r_{2} + r_{3} + . .

+ r_{n})

GRUSS, DK2ZA

Edddi aktiv_icon

07:14 Uhr, 04.06.2009

DK2ZA's Ausführungen sind sehr ausführlich.

Es geht auch ohne Vektoren...sieht dann für jede Koordinate dann aber analog aus:

x_{s} = \frac{1}{\sum m_{i}} \cdot \sum m_{i} \cdot x_{i}

y_{s} = \frac{1}{\sum m_{i}} \cdot \sum m_{i} \cdot y_{i}

z_{s} = \frac{1}{\sum m_{i}} \cdot \sum m_{i} \cdot z_{i}

Aber vorsichtig bei der Nutzung der Approximation!
Kräfte und Wirkungen auf eine Probemasse sind nur bei 'ralativ' großen Entfernungen zur im Gemeinsamen Schwerpunkt approximierten Punktmasse korrekt.

Das ist ja auch logisch, da nur in diesem Fall die Einzelvektoren fast alle die gleiche Richjtung haben, und sich so auch addieren.
Stell' dir einen Probekörper innerhalb, oder in unmittelbarer Nähe einer Punktwolke vor. Dann heben sich die Kräfte und Wirkungen zum Teil, oder gar ganz auf.
Das Ergebniss wäre also zu einer Wirkung oder Kraft einer gemeinsamen Puktmasse im Schwerpunkt nicht mehr korrekt.

Ausnahme bildet nur die gleichmäßige kugelförmige Verteilung von Punktmassen im Raum (ähnlich den Materieteilchen eines Planeten). Hier stimmt bis zur Oberfläche die Gravitationskraft mit der Gravitationskraft der approximierten Schwerpunktsmasse überein.
Ähnliches gilt auch für Kugelschalen. Hier heben sich innerhalb der Schale (egal an welchem Ort) die Kräfte genau auf!

Mit diesen beiden Ausnahmen lassen sich so auch die Kräfte innerhalb von gleichmäßig kugelförmig verteilten Massen berechnen.

Wendet man dies allerdings auf große, und ich meine wirklich große, Bereiche des Universums an, liefert das bei einer unendlichen Größe des Universums (somit unendlich große Kugel) ein Paradoxon.
Also ein guter Grund, der gegen die Unendlichkeit des Universums spricht, wobei ja unendlich nicht gleichbedeutend mit unbegrenzt hinsichtlich der unterschiedlichen Raumgeometrien ist.

So...dies nur mal so am Rande...dir ging's ja einzig und allein um die geometrische Festlegung des Schwerpunktes und nicht um die Anwendungsmöglichkeiten.

;-)

Mumel

11:12 Uhr, 04.06.2009

Hey!
Dankeschön! Ihr habt mir echt weitergeholfen! Ich hab nich dran gegelaubt, dass des irgendjemand schnallt...aba anscheinend lag ich falsch...;-)
Supi, ich danke euch!
Aba eine Frage hab ich noch, wie sieht die genaue Formel jetz aus? Is es des

s = . .

. bei
DK2ZA? Also wo du

s =

zum erstan Mal benutzt?

Danke

DK2ZA aktiv_icon

19:08 Uhr, 04.06.2009

Die Ergebnisse stehen ganz unten bei sn

= ...

.

Du solltest aber die Herleitung mal gründlich durcharbeiten, damit du auch etwas erklären kannst. Macht einen besseren Eindruck.

GRUSS, DK2ZA

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