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Frage bezüglich Wendepunktnachweis, ABI Aufgabe
Schüler , 12. Klassenstufe
Tags: Abituraufgabe, Wendepunkt
 
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Hallo, habe folgende Funktion, die eine Wirkstoffkonzentration eines Medikaments im Blut angeben soll (im Zeitraum In einer Teilaufgabe soll ich nachweisen, dass an der Stelle der einzige Wendepunkt vorhanden ist und soll auch noch beweisen, dass die Wirkstoffkonzentration zu diesem Zeitpunkt am stärksten abnimmt. Habe den Wendepunkt ausgerechnet, samt notwendiger und hinreichender Bedingung und habe auch genau das Ergebnis rausbekommen. Ich verstehe jedoch nicht, wieso ich zum Nachweis, dass die Wirkstoffkonzentration zu dem Zeitpunkt am stärksten abnimmt, die Randwerte 0 und in die erste Ableitung einsetzten muss. Könnte mir das jemand erklären? Habe dieses Problem schon einmal bei vergleichbaren Aufgaben gehabt. Schonmal vielen Dank! |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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an der Stelle, wo die Steigung am kleinsten ist (negativ), ist die Abnahme am stärksten; also an der Wendestelle |
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Dass in ein Wendepunkt ist und der Graph hier zudem auch fällt, bedeutet, dass lokal gesehen (also in einem bestimmten Bereich) die Steigung des Graphen hier extrem ist (IN diesem Fall also extrem klein stärkste Abnahme). Ob das auch global, also im gesamten Bereich von bis Gültigkeit besitzt, muss man dann noch prüfen. Denn theoretisch könnte ja die Steigung in oder in noch kleiner sein. Denke dazu analog auch einfach mal an die Berechnung von Randextrema, denn auch die lokalen Hoch- bzw Tiefpunkte geben ja nur für einen bestimmten Bereich einen maximalen bzw minimalen Funktionswert an - ob dies auch wirklich in dem gesamten zu betrachtenden Intervall gilt (globale Gültigkeit) muss auch hier erst noch geprüft werden. |
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Hi, Die Wendestellen einer Funktion sind genau die Extremstellen der ersten Ableitung. Dass die Wirkstoffkonzentration am stärksten abnimmt, heißt, dass die Ableitung an der entsprechenden Stelle ein lokales Minimum hat (und negativ ist). Da du schon weißt, dass dieses lokale Minimum der ersten Ableitung das einzige im Definitionsbereich ist, brauchst du die Randwerte nicht unbedingt einzusetzen. Du könntest auch so Argumentieren, dass die zweite Ableitung links von der Extremstelle der ersten Ableitung negativ ist, rechts davon positiv, was bedeutet, dass es auf dem Graphen der ersten Ableitung überall links von der Extremstelle im Definitionsbereich bergab geht, überall rechts davon bergauf, der Tiefpunkt der ersten Ableitung also nicht nur der tiefste Punkt in einer kleinen Umgebung um den Tiefpunkt ist, sondern der tiefste Punkt des ganzen Graphen. Falls einem diese Argumentation zu umständlich ist und einem auch sonst nichts tolles einfällt, kann man ganz allgemein bei Extrema (und an Wendestellen hat die erste Ableitung ein Extremung) wie folgt vorgehen: Man bestimmt einfach alle lokalen Extrema wie immer mit notwendiger und hinreichender Bedingung (falls die zweite Ableitung irgendwo Null ist, muss man die erste auf Vorzeichenwechsel untersuchen, wobei es auch hierzu Alternativen gibt) und schaut am Ende, wie sich die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereichs (manchmal oder - unendlich) verhalten. Das ist nötig, weil zum Beispiel die Funktion im Intervall genau zwei lokale Extrema hat (ein Maximum und ein Minimum, also der Graph einen Hoch- und einen Tiefpunkt), diese Extrema aber nicht größter und kleinster Wert (Hoch- und Tiefpunkt nicht höchster und tiefster Punkt des Graphen) der Funktion sind. Der kleinste Wert wird bei angenommen, einen größten gibt es nicht. (Den gäbe es, wenn noch im Definitionsbereich läge.) |
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@ Julian Bitte keine Werbung machen (indirekte Verbindung zur eigenen Nachhilfeseite) Danke. Siehe auch hier unter "Sittenwidriges Verhalten" : http//www.onlinemathe.de/hilfe/foren-regeln |
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Alles klar, besten Dank :-) |
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Sorry! Muss ich jetzt meinen Username ändern? |
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Joa, da sich dieser ja auch gleichzeitig in deiner (sich im Aufbau befindenden) Webseiten-URL befindet, ändere ihn bitte lieber :-) |
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