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Funktion 3. Grades durch zwei Punkte bestimmen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktion, Grad, Punkt

Marco2001 aktiv_icon

10:08 Uhr, 03.10.2018

Hi Leute,
Ich stehe kurz vor einer Matheklausur und suche eine Antwort auf folgende Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse bei xn=-2 und hat den Wendepunkt

W (\frac{1}{9})

. Bestimmen sie die Funktionsgleichung.

Mir ist bisher keine Lösung eingefallen, auch auf jeglichen Internetseiten steht nur die Lösung der Aufgabe wenn 3. Punkte vorhanden wären. Ich hoffe auf schnelle Rückmeldung und bedanke mich im vorraus.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Einführung Funktionen
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

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Respon

10:19 Uhr, 03.10.2018

Der Wendepunkt

W (1 | 9)

ist ja ein "besonderer" Punkt.
Der Wendepunkt liegt ja auf dem Graph der Funktion,

d

.h.die Koordinaten des Wendepunktes erfüllen die ursprüngliche Funktionsgleichung
UND

f'' (1) = 0

( notwendige Bedingung für den Wendepunkt )

Marco2001 aktiv_icon

10:24 Uhr, 03.10.2018

Bei den Grundlagen war ich bereits auch schon. Aber ich verstehe die einzelnen Schritte und das Einsetzen in die Funktionsgleichung nicht ganz.
Danke trotzdem für die schnelle Antwort.

Respon

10:27 Uhr, 03.10.2018

Die Eigenschaft "berührt" liefert dir zwei weite Bestimmungsgleichungen für die Koeffizienten, also insgesamt 4 Gleichungen.
Wenn

f (x) = a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d

dann kannst du

a, b, c, d

bestimmen.

Marco2001 aktiv_icon

10:40 Uhr, 03.10.2018

Da fehlen mir doch noch einige Angaben. Ich habe doch aus dem Text die Punkt

: P (- \frac{2}{0})

und

W (\frac{1}{9})

Daraus ergibt sich f" (1)

=

6ax

+ 2 b = 0

für den Wendepunkt. Hier können aber a und

b

doch irgendwelche Werte annehmen. Wie komme ich dahin diese zu bestimmen?

Respon

10:44 Uhr, 03.10.2018

Du brauchst 4 Bestimmungsgleichungen für

a, b, c, d

f (1) = 9

f'' (1) = 0

f' (- 2) = 0

f (- 2) = 0

Setze das nun mit

a, b, c, d

in Gleichungen um und bestimme die Lösung des LGS.

Atlantik aktiv_icon

11:38 Uhr, 03.10.2018

Alternative:

"berührt die x-Achse bei xn=-2 "
Da ist nun eine doppelte Nullstelle:-> Nullstellenform der Parabel:

f (x) = a \cdot {(x + 2)}^{2} \cdot (x - N) = a \cdot (x^{2} + 4 x + 4) \cdot (x - N) = a x^{3} - a \cdot N \cdot x^{2} + 4 a x^{2} - 4 a x N + 4 a x - 4 a N

W (1 | 9)

f (1) = a \cdot {(1 + 2)}^{2} \cdot (1 - N)

9 a (1 - N) = 9

1 .) a \cdot (1 - N) = 1 \to a = \frac{1}{1 - N}

f (x) = a x^{3} - a \cdot N \cdot x^{2} + 4 a x^{2} - 4 a x N + 4 a x - 4 a N

f´(x)=3

a x^{2} - 2 a N x + 8 a x - 4 a N + 4 a

f´´(x)=

6 a x - 2 a N + 8 a

f´´

(1) = 6 a - 2 a N + 8 a

2 .) 3 a - a N + 4 a = 0

a N = 7 a

mit

a \neq 0 \to N = 7

a = \frac{1}{1 - N}

a = \frac{1}{1 - 7}

a = - \frac{1}{6}

f (x) = - \frac{1}{6} {(x + 2)}^{2} \cdot (x - 7)

mfG

Atlantik

G r a p h :

Marco2001 aktiv_icon

11:49 Uhr, 03.10.2018

Danke für die ausfürliche Antwort. Ich denke das hat mich schon einiges weiter gebracht. ;-)

Marco2001 aktiv_icon

11:49 Uhr, 03.10.2018

Danke für die ausfürliche Antwort. Ich denke das hat mich schon einiges weiter gebracht. ;-)

Marco2001 aktiv_icon

12:17 Uhr, 03.10.2018

Lösung ist richtig da ich diese vorliegen habe. Aber diesen Lösungsweg kann ich nun überhaupt nicht mehr nachvollziehen. Wo kommt das

N

her? Ich brauch eine Erklärung mit Apfel und Birnen für Norddeutsche.

Atlantik aktiv_icon

14:21 Uhr, 03.10.2018

f (x) = a \cdot x^{6} + b \cdot x^{5} + c \cdot x^{4} + d \cdot x^{3} + e \cdot x^{2} + f \cdot x + g

N_{1} (- 6 | 0); N_{2} (5 | 0); N_{3} (- 4 | 0); N_{4} (3 | 0); N_{5} (- 2 | 0); N_{6} (1 | 0)

und

P (5 | 7)

Stell dir vor, du wolltest nun 7 Gleichungen mit 7 Unbekannten aufstellen und lösen!?

Darum die Nullstellenform der Parabel:

f (x) = a \cdot (x - N_{1}) \cdot (x - N_{2}) (x - N_{3}) \cdot (x - N_{4}) \cdot (x - N_{5}) \cdot (x - N_{6})

f (x) = a \cdot (x + 6) \cdot (x - 5) (x + 4) \cdot (x - 3) \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)

P (8 | 7)

f (8) = a \cdot (8 + 6) \cdot (8 - 5) (8 + 4) \cdot (8 - 3) \cdot (8 + 2) \cdot (8 - 1)

a \cdot (8 + 6) \cdot (8 - 5) (8 + 4) \cdot (8 - 3) \cdot (8 + 2) \cdot (8 - 1) = 7

a = \frac{1}{25200}

f (x) = \frac{1}{25200} \cdot (x + 6) \cdot (x - 5) (x + 4) \cdot (x - 3) \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)

mfG

Atlantik

G R A P H :

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