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Funktion durch Potenz entwickeln etc.

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktiom, Monotonie, Potenz

anonymous

17:15 Uhr, 24.11.2011

Hallo

ich soll die funktion

p (x) = x^{3} - 12 x + 14

nach Potenzen von

x - 2

entwickeln und dadurch zeigen, dass die Funktion für

x > 2

monton ist. Zu dem soll ich zeigen, das die funktion für

x > 2

umkehrbar ist und die Definitionsmenge und das bild der Umkehrfunktion

f

bestimmen.

Um

p (x)

durch potenzen von

x - 2

zu entwickeln habe ich zuerst das polynom

a_{1} {(x - 2)}^{3} + a_{2} {(x - 2)}^{2} + a_{3} (x - 2) + a_{4}

gebildet.

Dann hab ich das polynom ausmultipliziert und die Koeffizienten berechnet.
Ich kam auf

{(x - 2)}^{3} + 6 {(x - 2)}^{2} + 1

Wenn ich das ausmultiplizere komme ich auch auf das richtige Ergebnis.

Jetzt bin ich mir aber nicht sicher, wie ich damit zeige, dass die Funktion für

x > 2

streng monoton ist. Mir ist klar, dass wenn

x > 2

alle Werte in den Klammern größer 0 sind und sich dadurch addieren und keine negativ ist und dadurch das Gesamtergebnis verkleinert. Die Funktion steigt also streng monoton an. Ich weiss jedoch nicht wie ich das dadurch zeige?

Wenn ich die Umkehrfunktion bilden will, muss ich ja eigentlich nur

y = x^{3} + 12 x + 17

nach

x

auflösen?
Wie komme ich dann auf die Definitionsmenge und das bild der umkehrfunktion?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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17:28 Uhr, 24.11.2011

Da alle Werte in den Klammern positiv sind, gilt für sie:

a < b

folgt

a^{2} < b^{2},

ebenso für die Kuben. Also ist

f

streng monoton steigend wegen

b > a

folgt

f (b) > f (a)

.
Bei der Umkehrfunktion mache zuerst eine Zeichnung. Es ist kein Zufall, dass kein Term mit

x^{2}

auftritt. Dadurch ergibt sich eine besondere Lage für den Wendepunkt (alle Parabeln 3. Grades sind zu ihrem Wendepunkt symmetrisch) Die Kurve zerfällt also in 2 gleiche Äste, ähnlich wie früher die quadratischen Parabeln, nur nicht achsensymmetrisch. Versuche mal, die Kurve mit einem Koordinatensystem nur als

v = u^{3}

darzustellen (verschieben). Sonst kannst du nicht nach

x

auflösen !

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17:39 Uhr, 24.11.2011

Deine Umstellung auf

(x - 2)

muss am Schluss nicht

1,

sondern

- 2

heißen

anonymous

17:41 Uhr, 24.11.2011

meinst du

{(x - 2)}^{3} + 6 {(x - 2)}^{2} - 2

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17:43 Uhr, 24.11.2011

Ja. CAS gibt den richtig ausmultiplizierten Ausdruck

anonymous

17:44 Uhr, 24.11.2011

Aber wenn ich meins ausmultipliziere komme ich wieder auf den Ursprungsterm und mit

- 2

komme ich auf

+ 14

statt

+ 17

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17:47 Uhr, 24.11.2011

Du hast

+ 14

gepostet.

anonymous

17:48 Uhr, 24.11.2011

Oh sry mein fehler. Bin ich auf dem Numpad auf die 4 statt auf die 7 gekommen.
Soll

+ 17

sein. Tut mir leid!

anonymous

17:53 Uhr, 24.11.2011

Nach meiner Zeichnung müsste der Wendepunkt bei

(0 | 17)

liegen, also am schnittpunkt mit der

y

Achse.

Wie du das mit dem

u = v^{3}

meinst versteh ich nicht, da kann ich dir ehrlich gesagt nicht folgen

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17:56 Uhr, 24.11.2011

Alles klar. Aber die Auflösung nach

x

macht Probleme. Habe versucht, die Achsen durch

(2 | 1)

zu verschieben, geht auch, aber die Gleichung ist nicht nach

x

auflösbar.

anonymous

18:00 Uhr, 24.11.2011

Ich soll ja wie geschrieben nur zeigen, dass die Funktion für

x > 2

umkehrbar ist. Kann man das irgendwie miteinbringen? Im dem ich nur die Teilfunktion betrachte bzw eine bilde?

Für

x > 2

ist die Funktion ja eine schöne Kurve.

Bzw könnte ich um den punkt

x = 2

einfach eine Parabel bilden? eine

x^{2}

funktion? und nur die rechte hälfte betrachten?

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18:03 Uhr, 24.11.2011

Man muss doch genau lesen. In der Aufgabe ist die Auflösung nach

x

nicht gefordert. Für

x \geq 2

ist

y \geq 1

. Streng monotone Funktionen sind immer umkehrbar. Also

f

bildet die Menge aller

x

größer gleich 2 auf alle

y

größer gleich 1 ab, die Umkehrfunktion macht es anders herum, eine Gleichung für sie ist nicht verlangt. Die Idee mit den 2 gleichen Ästen hat sich erledigt.

anonymous

18:11 Uhr, 24.11.2011

Stimmt, du hast recht, es ist garkeine Umkehrfunktion gefragt.

Wenn

f

alle

x > 2

auf

y > 1

abbildet, dann bildet die umkehrfunktion alle

x < 2

auf alle

y < 1

ab?

Dann ist die Definitionsmenge

{x \in ℝ | - \infty \leq x < 2}

und die Bildmenge

{y \in ℝ | - \infty \leq y 1}

anonymous

18:12 Uhr, 24.11.2011

urghs doppelpost.

zu zeigen, dass

f

für

x > 2

streng monoton ist reicht aus zum zu zeigen, dass sie umkehrbar ist?

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