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Funktion f genau eine Nullstelle?
Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Differenzialrechnung, f, Funktion, Monotonie
 
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Aufgabe: Beweisen Sie, dass die Funktion genau eine Nullstelle hat. Bsp: 1. f´(x) . ist streng monoton zunehmend, hat damit höchstens eine Nullstelle. 2. und ist stetig in R. Nach dem Nullstellensatz hat mindestens eine Nullstelle. Aus 1. und 2. folgt: hat genau eine Nullstelle, und zwar in ich verstehe die zwei Erläuterungen nicht! Wieso hat wenn sie streng monoton zunehmend ist, nur eine Nullstelle? Und wieso setzt man bei 2. einfach die Zahlen und ein? Außerdem sind das doch dann zwei Nullstellen, und nicht nur eine?! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hy, also streng monoton steigend bedeutet soviel das, der Anstieg immer größer Null ist. für . du setzt in deine Funktion für gleich null ein, und bekommst für die Funktion einen Zahlenwert . Nun setzt dür für ein, danach usw (Zahlenwert für ist 3 und der Zahlenwert für ist . Du wirst sehen das Werte immer größer werden, das bedeutet streng monoton steigend. Und deshalb hat diese Funktion auch nur eine Nullstelle, sie steigt über die X-Achse und fällt dann nicht mehr, denn wenn x-zunimmt nimmt auch zu. Kannst du für ddeine Funktion gerne mal ausprobieren, nimm ein paar aufeinader folgende Werte und rechne die Werte für die Funktion aus. Oder lass dir die Funktion mal im GTR zeichnen. Zu den Nullstellen kann ich allerdings auch nichts sagen. Eigentlich hat nur eine Stelle das ist richtig, aber nicht an der Stelle von zumal das eher ein Punkt ist und keine Stelle, also da kann ich dir auch nicht weiterhelfen. |
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Hi, soll kein Punkt sein, sondern ein Intervall mit offenen Enden, . und gehören nicht mehr dazu. Die Nullstelle liegt also irgendwo zwischen und . |
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Danke ihr zwei, das klingt ja schon ganz aufschlussreich! Dennoch...irgendwie hab ich das immer noch nicht so ganz überrissen! Also, ein Beispiel: x³ setz ich nun einfach ein paar Zahlen ein? ? also ist die Funktion streng monoton zunehmend, oder? ODER: hätte ich zuerst die Ableitung bilden, und dann einsetzen sollen? f´(x) = 3x² f´(1) f´(2) f´(3) . eigentlich macht es ja keinen Unterschied, ist beides streng monoton zunehmend. also gilt dann: f´(x) = 3x² . es gibt damit höchstens eine Nullstelle ??! aber wie komme ich dann auf das Intervall der Nullstellen? |
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Aussagen über Monotonie kannst du nur mit der 1. ABleitung machen, nicht mit der AUsgangsfunktion. Hier gilt f'(x)=3x²+1>0 da der Graph dazu ja eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt (0|1) ist. |
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