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Funktionenschar

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionen schar, Hochpunkt, Ortskurve, Tiefpunkt

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19:24 Uhr, 05.02.2013

Hallo ihr Lieben,

Gegeben ist die Funktionenschar

f_{a} (x) = x^{4} -

ax² (aER).

a)

Zeigen Sie, dass der Graph von

f_{a}

für

a < 0

keinen Hochpunkt hat.

b)

Bestimmen Sie für

a > 0

die Ortskurve für die Tiefpunkte und Wendepunkte der Schar.

c)

Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte aller Graphen der Funktionenschar.

d)

Bestimmen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen im Punkt

P 1 | f (1))

. Für welchen Wert von a beträgt die Steigung

- 0,5

.

bei

a)

habe ich folgendes:

{f'}_{a} (x) =

4x³-2ax

f''_{x} =

12x²-2a

f'''_{a} (x) = 24 x

notwendige Bedingung:
4x³-2ax

= 0

x³-0,5ax

= 0

x*(x²-0,5a)

x_{1} = 0

x²-0,5a

= 0

x²

= 0,5 a

x_{2,3} = \pm \sqrt{0,5}

hinreichende Bedingung:

f''_{a} (x) = 12 \cdot (\sqrt{0,5} a)

- 2 a

= 6 a - 2 a

= 4 a > 0 \Rightarrow

Tiefpunkt

f_{a} (x) =

(4a)^4-a*(4a)²

= 256 a^{4} -

16a³

TP(

\sqrt{0,5} a | 256 a

^4-16a³)

f''_{a} (x) = 12 \cdot (- \sqrt{}

0,5a)²

= 12 \cdot (- 0,5) - 2 a

= - 6 a - 2 a

= - 8 a < 0 \Rightarrow

Hochpunkt

f_{a} (x) = {(- 8 a)}^{4} - a \cdot

(-8a)²

= 4096 a^{4} -

64a³

Aber irgendwas stimmt hier doch nicht, oder??

Herzliche Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:32 Uhr, 05.02.2013

x^{2} = 0,5 a

x_{2,3} \neq \pm \sqrt{0,5}

mfG

Atlantik

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19:35 Uhr, 05.02.2013

Leider habe ich nicht verstehen können, was Sie mir jetzt damit sagen wollen..

\frac{:}{}

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19:45 Uhr, 05.02.2013

Du hast das a unter der Wurzel nicht aufgeschrieben.

mfG

Atlantik

anonymous

20:23 Uhr, 05.02.2013

Setzen wir die erste Ableitung

0,

so erhalten wir

x_{1} = 0

x_{2} = + \sqrt{0,5 \cdot a}

x_{3} = - \sqrt{0,5 \cdot a}

Ist nun

a < 0,

so sind

x_{2}

und

x_{3}

nicht definiert. Setze ich den verbleibenden Wert

x_{1} = 0

in die zweite Ableitung ein, so gilt:

f'' (x) = 12 \cdot x^{2} - 2 \cdot a

f'' (0) = - 2 \cdot a

Da aber

a < 0

vorausgesetzt wurde erhalte ich für

- 2 \cdot a

einen POSITIVEN Wert, die Stelle

x_{1} = 0

ist daher ein Tiefpunkt.
Zusammenfassung: Für

a < 0

ist

x_{1} = 0

ein Tiefpunkt und

x_{2,3}

sind nicht definiert=>Aussage bestätigt.

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08:07 Uhr, 06.02.2013

Ich habe einen Funktionenplotter für Funktionenscharen gefunden:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm#txtkurvenscharen

Du musst dann statt

f_{a} (x) = x^{4} - a x^{2}

nun

f_{\circ} (x) = x^{4} - \circ x^{2} (

Wie das E-Mailzeichen)

mfG

Atlantik

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21:07 Uhr, 06.02.2013

@Atlantik: Vielen Dank für den Link :-)

bei

b)

habe ich folgendes:

TP

(0 | 0)

x = 0

g (x) = 0

\Rightarrow g (x) :

ist die Funktion für die Ortskurve.

Aber ist das denn so richtig.

anonymous

01:52 Uhr, 07.02.2013

b)

Ortskurve von Hoch- , Tief- und Wendepunkt.
Deine Überlegung ist leider nicht richtig.
Es wird also

a > 0

vorausgesetzt,

d . h

. nach obiger Rechnung, dass wir für die Extremstellen

x_{1} = 0

x_{2} = + \sqrt{0,5 \cdot a}

x_{3} = - \sqrt{0,5 \cdot a}

erhalten.
Sowohl

x_{2}

als auch

x_{3}

ist nun wegen

a > 0

definiert.
Was ist nun Hoch- bzw. Tiefpunkt?

f'' (x) = 12 \cdot x^{2} - 2 \cdot a

f'' (+ \sqrt{0,5 \cdot a}) = 12 \cdot 0,5 \cdot a - 2 \cdot a = 4 \cdot a > 0

lt. Voraussetzung

\Rightarrow x_{2} = + \sqrt{0,5 \cdot a}

ist Tiefpunkt

f'' (- \sqrt{0,5 \cdot a}) = 12 \cdot 0,5 \cdot a - 2 \cdot a = 4 \cdot a > 0

lt. Voraussetzung

\Rightarrow x_{3} = - \sqrt{0,5 \cdot a}

ist ebenfalls Tiefpunkt.

f'' (0) = - 2 \cdot a < 0

lt. Voraussetzung

\Rightarrow x_{1} = 0

ist Hochpunkt.
Zur Berechnung der dazugehörigen y-Werte setzt man

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

in die ursprüngliche Funktionsgleichung

f (x) = x^{4} - a \cdot x^{2}

ein und erhält:

T_{1} (+ \sqrt{0,5 \cdot a} | - 0,25 \cdot a^{2})

T_{2} (- \sqrt{0,5 \cdot a} | - 0,25 \cdot a^{2})

H (0 | 0)

Nun zur Ortskurve: Beginnen wir mit dem Tiefpunkt

T_{1} (+ \sqrt{0,5 \cdot a} | - 0,25 \cdot a^{2})

Die Darstellung

x = + \sqrt{0,5 \cdot a}

y = - 0,25 \cdot a^{2}

wäre bereits die Darstellung der Ortskurve des Tiefpunktes in Parameterform.

anonymous

02:02 Uhr, 07.02.2013

Wir eliminiern nun den Parameter a und bringen so die Ortskurve in die gewohnte x-y-Darstellung.

x = + \sqrt{0,5 \cdot a} \Rightarrow x^{2} = 0,5 \cdot a \Rightarrow a = 2 \cdot x^{2}

Diesen Wert für a setze ich in die Darstellung von

y

ein

y = - 0,25 \cdot a^{2} \Rightarrow y = - 0,25 \cdot 4 \cdot x^{4}

oder anders geschrieben:

g (x) = - x^{4}

Ortskurve des Tiefpunktes

T_{1}

Führen wir die Rechnung mit

T_{2} (- \sqrt{0,5 \cdot a} | - 0,25 \cdot a^{2})

durch, so erhalten wir das gleiche Ergebnis.
Da

g (x) = - x^{4}

auch durch den Koordinatenursprung geht, der gleichzeitig Hochpunkt ist, gilt also:
Sowohl Hochpunkt als auch die zwei Tiefpunkte haben die Ortskurve

g (x) = - x^{4}

anonymous

02:17 Uhr, 07.02.2013

Die Wendepunkte erhalten wir durch

f'' (x) = 0

f'' (x) = 12 \cdot x^{2} - 2 \cdot a

12 \cdot x^{2} - 2 \cdot a = 0

12 \cdot x^{2} = 2 \cdot a

6 \cdot x^{2} = a

x_{1} = + \sqrt{\frac{a}{6}}

x_{2} = - \sqrt{\frac{a}{6}}

f''' (x) = 24 \cdot x \Rightarrow f''' (+ \sqrt{\frac{a}{6}}) < > 0

f''' (- \sqrt{\frac{a}{6}}) < > 0

wir erhalten also "echte" Wendepunkte.
Die dazugehörigen y-Werte erhalten wir wieder aus der ursprünglichen Funktionsgleichung

f (x) = x^{4} - a \cdot x^{2}

W_{1} (+ \sqrt{\frac{a}{6}} | - \frac{5 \cdot a^{2}}{36})

W_{2} (- \sqrt{\frac{a}{6}} | - \frac{5 \cdot a^{2}}{36})

anonymous

02:25 Uhr, 07.02.2013

Ortskurve der Wendepunkte

W_{1} (+ \sqrt{\frac{a}{6}} | - \frac{5 \cdot a^{2}}{36})

W_{2} (- \sqrt{\frac{a}{6}} | - \frac{5 \cdot a^{2}}{36})

Beginnen wir mit

W_{1} (+ \sqrt{\frac{a}{6}} | - \frac{5 \cdot a^{2}}{36})

Die Darstellung

x = + \sqrt{\frac{a}{6}}

y = - \frac{5 \cdot a^{2}}{36}

wäre bereits die Darstellung der Ortskurve in Parameterform, durch Elimination des Parameters a erhalten wir die x-y-Darstellung

x = + \sqrt{\frac{a}{6}} \Rightarrow x^{2} = \frac{a}{6} \Rightarrow a = 6 \cdot x^{2}

Diesen Wert für a setzen wir in die Darstellung von

y

ein.

y = - \frac{5 \cdot a^{2}}{36} \Rightarrow y = - \frac{5 \cdot 36 \cdot x^{4}}{36}

Oder anders geschrieben

h (x) = - 5 \cdot x^{4}

Für

W_{2} (- \sqrt{\frac{a}{6}} | - \frac{5 \cdot a^{2}}{36})

ergibt sich die selbe Ortskurve, es gilt also zusammenfassend:
Die Ortskurve der Wendepunkte ist

h (x) = - 5 \cdot x^{4}

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23:05 Uhr, 07.02.2013

Gute Nacht; :-)

vielen lieben dank. bis zu einem Punkt habe ich das alles verstanden, denke ich mal...

Kommt bei dem zweiten Tiefpunkt nicht

15 \cdot (- 0,5) \cdot a - 2 \cdot a

??

Herzliche Grüße,

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23:11 Uhr, 07.02.2013

Warum ist denn auch

x_{3}

definiert. Da steht ja ein Minus vor der Wurzel, und somit gilt

x_{3}

nicht, doer..

Wenn ich für a Zahlen einsetze, die

>

sind, habe ich trotzdem negative Werte raus.

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