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Funktionenschar einer e-Funktion mit 2 Parametern

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Funktionenschar, Parameter

+ PARANOIA +

01:04 Uhr, 22.08.2010

Ich habe bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten:

Der Verlauf des Trageseiles einer Hängebrücke kann durch eine Kettenlinie angenähert werden. Diese ist der Graph der Funktion fac(x)=

\frac{a}{2 \cdot c} \cdot (e^{c \cdot x} + e^{- c \cdot x})

mit

a, c > 0, x

in Metern,

y

in Metern.

Bestimmen Sie a und

c

so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit

5 m

über der Fahrbahn erreicht, die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von

200 m

haben und je

30 m

hoch sind.

Meine bisheriger Lösungsansatz:
Zunächst habe ich den Tiefpunkt errechnet:

T

für

x = 0

und

y = \frac{a}{c}

Dann habe ich fac(0)= 5 gesetzt und nach a und

c

umgeformt:

a = 5 \cdot c

c = \frac{a}{5}

Als nächstes habe ich fac(-100)=fac(100)=

30

gesetzt und wieder nach a und

c

umgeformt:

a = \frac{30 \cdot c}{cosh (100 \cdot c)}

c = \frac{a \cdot cosh (100 \cdot c)}{30}

Das ist die Stelle an der ich nicht mehr weiterkomme. Nun habe ich zwei verschiedene Werte für a und

c,

die ich in eine Funktion bringen muss, die durch die Punkte

P (x = - 100

und

y = 30), Q (x = 0

und

y = 5)

und

R (x = 100

und

y = 30)

verläuft. Wie stell' ich das an? Wie bestimme ich genau ein a und ein

c

für diese Funktion?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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01:33 Uhr, 22.08.2010

Du kannst ja dein a durch 5c ersetzen und dann nach c auflösen.
Allerdings würde ich hier nicht cosh ins Spiel bringen sondern einfach mit f(100)=30 <=>

\frac{5}{2} (e^{100 c} + e^{- 100 c}) = 30 \overset{}{\Leftrightarrow} e^{100 c} + e^{- 100 c} = 12

arbeiten.
Mit

e^{100 c} = z

hast du dann z+(1/z)-12=0 <=> z²-12z+1=0

+ PARANOIA +

05:05 Uhr, 22.08.2010

So, bin nun meinem Problem auf die Schliche gekommen:
Ich habe erst nicht verstanden, warum du

e^{100 \cdot c}

mit

z

ersetzt hast, bis mir dann klar geworden ist, dass der Taschenrechner nur auf diesem Umweg

c

errechnen kann. Der TI Voyage

200

hat nun schon die ganze Zeit über rumgebockt und wollte ohne Umschreibung mit

z

die Gleichung nicht lösen.
Folgendermaßen hab' ichs gerechnet:

e^{100 \cdot c} + e^{- 100 \cdot c} = 12

und

e^{100 \cdot c} = z

z + \frac{1}{z} = 12

|solve(z)

z 1 = - (\sqrt{35} - 6)

oder

z 2 = \sqrt{35} + 6

e^{100 \cdot c} = - (\sqrt{35} - 6) \Leftrightarrow c = \frac{ln (- (\sqrt{35} - 6))}{100} < 0

(ausgeschlossen, da

a, c > 0)

e^{100 \cdot c} = \sqrt{35} + 6 \Leftrightarrow c = \frac{ln (\sqrt{35} + 6)}{100} > 0

Bei

f (100) = 30

wird

c

durch

\frac{a}{5}

ersetzt:

2,5 \cdot (e^{20 \cdot a} + e^{- 20 \cdot a}) = 30 | : 2,5

e^{20 \cdot a} + e^{- 20 \cdot a} = 12

e^{20 \cdot a} = z

z + \frac{1}{z} = 12

|solve(z)

z 1 = - (\sqrt{35} - 6)

oder

z 2 = \sqrt{35} + 6

e^{20 \cdot a} = - (\sqrt{35} - 6) \Leftrightarrow a = \frac{ln (- (\sqrt{35} - 6))}{20} < 0

(ausgeschlossen, da

a, c > 0)

e^{20 \cdot a} = \sqrt{35} + 6 \Leftrightarrow a = \frac{ln (\sqrt{35} + 6)}{20} > 0

Setzt man a und

c

für

a, c > 0

bei

f (x)

ein, dann erhält man folgende Funktionsgleichung:

5 \cdot cosh (\frac{ln (\sqrt{35} + 6)}{100}) = f (x)

Alle Bedingungen werden erfüllt:

f (- 100) = f (100) = 30

f (0) = 5

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Anscheinend haben mich die vielen Parameter und mein zickiger Taschenrechner irritiert. Danke für die Hilfe, besonders für den Trick mit der Umschreibung von

e^{100 \cdot c}

mit

z

. Alleine wäre ich wohl nicht darauf gekommen.

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