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Geraden im Raum - Textaufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gerade, Raum

qwe11 aktiv_icon

13:09 Uhr, 02.06.2010

Ein Ballon startet im Punkt

A (\frac{2}{5} / 0)

. Er bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit und ist nach 1 Stunde im Punkt

B (\frac{4}{8} / 1)

. Beim Start des Ballons befindet sich ein Flugzeug im Punkt

C (\frac{10}{15} / 1)

und fliegt geradlinig mit

90

km/h in Richtung Vektor

[

u]=

(- \frac{1}{- 2} / 2)

. (alle Koordinaten in km)

Wie viele Minuten nach dem Start des Ballons kommen sich der Ballon und das Flugzeug am nächsten?

So die Geradengleichungen hab ich bereits aufgestellt und die Geschwidnigkeit des Ballons berechnet. Wie weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

IQ145 aktiv_icon

13:41 Uhr, 02.06.2010

Beide bewegen sich auf einer Geraden. Du mußt den geringsten Abstand PQ der Geraden berechnen. Dann kannst Du mit den Koordinatenpunkten

P

oder

Q

(egal) und den jetzigen Standorten den zurückgelegten Weg und mit einer Geschwindigkeit die Zeit berechnen.

qwe11 aktiv_icon

13:44 Uhr, 02.06.2010

Das Problem ist bei mir, dass ich nicht weiß wie ich den geringsten Abstand zweier Geraden berechne.

IQ145 aktiv_icon

13:53 Uhr, 02.06.2010

Du bestimmst den Vektor der zu beiden Geraden normal steht. Der Normalenvektor schneidet die "Balongerade" in den Punken

P

und die "Flugzeuggerade" in Q. |PQ| gibt den geringsten Abstand an. |BP| oder |CQ| entsprechen der Flugstrecke.

qwe11 aktiv_icon

14:08 Uhr, 02.06.2010

Wenn ich aber nur den gerinsten Abstand zweier Geraden berechne, dann hab ich ja nicht berücksichtigt das der Ballon um einiges langsamer fliegt als das Flugzeug!

IQ145 aktiv_icon

16:09 Uhr, 02.06.2010

Kurze Zwischenfrage. Da ich die den MathPlayer nicht instalieren kann, sind die Vektoren des Flugzeugs mit

u (- 1 | - 2 | 2)

und

C (10 | 15 | 1)

und des Ballons mit

A (2 | 5 | 0)

und

B (4 | 8 | 1)

richtig angegeben?

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16:12 Uhr, 02.06.2010

g : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 5 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{rcl} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array})

h : \vec{x} = (\begin{array}{rcl} 10 \\ 15 \\ 1 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{rcl} - 30 \\ - 60 \\ 60 \end{array})

Der Richtungsvektor von h wurde normiert (auf die Länge 1 gebracht) und mit 90 multipliziert, damit nach 1 Stunde auch wirklich 90 km zurückgelegt werden.

Ein Punkt auf g lautet also G(2+2s|5+3s|s) und ein Punkt auf h lautet H(10-30t|15-60t|1+60t)
Da es um einen gemeinsamen Zeitpunkt geht kann man nun s=t setzen.
Für die Entfernung zweier Punkte gibt es eine Formel,das entspricht ja gerade der Länge des Vektors GH.
Die Berechnung der geringsten Entfernung voneinander entspricht somit einer Extremwertbestimmung.
Du musst also nur noch berechnen für welches t die Abstandsfunktion d(t) den kleinsten Funktionswert besitzt.

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