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Geradenscharen

Schüler Gymnasiale Oberstufe,

Tags: Geraddenschar, orthogonalität, Punkt

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23:00 Uhr, 26.10.2017

Ich muss folgende Aufgabe lösen, jedoch komme ich da auf keine Lösung, aber da muss eigentlich eine Lösung rauskommen...

Die Aufgabe lautet:
Die Geraden

g_{m}

verlaufen durch den Punkt C und die Punkte

A_{m}

.
Die Geraden

h_{m}

verlaufen durch den Punkt C und die Punkte

B_{m}

.
Stellen Sie eine Gleichung für die Geradenschar

f_{m}

auf, die durch den Punkt C und
sowohl zu

g_{m}

als auch zu

h_{m}

orthogonal verläuft.
Prüfen Sie, ob Geraden

f_{m}

existieren, die
I) zur y-z-Ebene parallel verlaufen,
II) zur z-Achse parallel verlaufen.

A_{m} (5 / 3 m + 1 / - 1) B_{m} (- 1 / 2 / 2 m + 1) C (- 1 / 1 / - 1)

Geradengleichung

g_{m} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + r * (\begin{array}{rcl} 6 \\ 3 m \\ 0 \end{array})

Geradengleichung

h_{m} = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) + s * (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 2 m + 2 \end{array})

Ansatz

f_{m} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t * (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

1. Bedingung:

g_{m} ⊥ f_{m}

g_{m} * f_{m} = 0

6 x + 3 m y + 0 z = 0

6 x + 3 m y = 0

2. Bedingungb

h_{m} ⊥ f_{m}

h_{m} * f_{m} = 0

0 x + 1 y + (2 m + 2) z = 0

1 y + (2 m + 2) z = 0

3.Bedingung

C \in f_{m}

(\begin{array}{rcl} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + t * (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})

1.Gleichung nach y umformen :

y = \frac{- 2 x}{m}

y in 2. einsetzen :

\frac{- 2 x}{m} + 2 m z + 2 z = 0

\frac{- 2 x}{m} + 2 m z = - 2 z

- 2 x + 2 m z = - 2 m z

- 2 x = - 4 m z

x = 2 m z

y und x in 3. einsetzen:
komponentenweise Darstellung als LGS:

1.

(2 m z) * t = - 1

(- 4 z) * t = 1

z * t = - 1

3. nach t umformen:

t = \frac{- 1}{z}

t in 2. einsetzen:

(- 4 z) * \frac{- 1}{z} = 1

\frac{4 z}{z} = 1

und hier sieht man, dass ein Widerspruch vorliegt,da sich das z rauskürzen würde und man eine falsche Aussage hätte. Aber es muss eine Lösung rauskommen, da man sonst den Rest der Aufgabe nicht lösen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

00:51 Uhr, 27.10.2017

Was bringt dich auf die Idee, dass

f_{m}

durch den Ursprung verlaufen könnte? Da ist ein Widerspruch ja vorprogrammiert.

Wenn, dann solltest Du

f_{m} : (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

ansetzen und dann eben die beiden Gleichungen für das doppelte Normalstehen ansetzen.
Du kannst

a, b, c

nur bis auf Vielfache bestimmen.
Einfacher ist es, wenn du den (besser: einen) Normalvektor

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

einfach durch das Vektorprodukt der Geradenvektoren von

g_{m}

und

h_{m}

bestimmst.

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