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Geringster Abstand zwei Geraden

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Abstand, Analytische Geometrie, Extremwertaufgabe, Gerade

Fabi093 aktiv_icon

11:53 Uhr, 12.03.2013

Hey,

Ich habe ein Problem mit einer Abituraufgabe. In dieser Aufgabe gibt es einen Hang von dem aus zwei Gleitpiloten starten. In der Aufgabe davor sollte man bestimmen, ob sich die Flugbahn der Piloten kreuzt. Dies habe ich geschafft, allerdings ist noch zu erwähnen, dass sie nicht zum selben Zeitpunkt aufeinander treffen.

Die Flugbahnen der Piloten werden mit den Geraden

g

und

h

beschrieben.

g : x = (\begin{matrix} 320 \\ 140 \\ 200 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 6,25 \\ 7,5 \\ - 1 \end{matrix})

h : x = (\begin{matrix} 245 \\ 240 \\ 205 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

Da ich logischer weise nicht die Abstandsformel nehmen kann, da sie sich ja schneiden und dort dann 0 rauskommt, weiß ich nicht, wie ich eine Formel aufstelle von der ich das Minimum berechnen könnte.

Ich bitte um eure Hilfe und bedanke mich schonmals. :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade
Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum

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Bummerang

12:02 Uhr, 12.03.2013

Hallo,

nimm für die Geraden den jeweiligen Stützvektor, der zu einem festen Zeitpunkt gilt. Normiere die Richtungsvektoren so, dass sie die Änderung innerhalb der selben Zeiteinheit,

z . B

. Sekunde, darstellen. Dann hast Du Geradengleichungen, die den "Standort" der beiden in Abhängigkeit des selben Parameters

t

darstellen. Jetzt kannst Du die Abstandsformel hernehmen und nach

t

differenzieren.

Fabi093 aktiv_icon

12:19 Uhr, 12.03.2013

Okay und wie würde die Nomierung aussehen. Kann mir leider da grad nichts drunter vorstellen und die Parameter geben schon die Sekunden an und die Piloten starten zeitversetzt.

prodomo aktiv_icon

13:55 Uhr, 12.03.2013

Dann nimm für den späteren

t -

Wartezeit statt

t

. Oder besser: poste den Originaltext

Stiernacken aktiv_icon

14:26 Uhr, 12.03.2013

Normierung bedeutet, den Vektor auf die Länge 1 zu bringen:

\vec{v_{0}} = \frac{\vec{v}}{| \vec{v} |} = \frac{1}{| \vec{v} |} \cdot \vec{v}

mit

\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

und

| \vec{v} | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}

Gruß

Bummerang

14:38 Uhr, 12.03.2013

Hallo Stiernacken,

bitte den Fragesteller nicht verwirren! Eine Normierung ist immer gemäss einer Norm! Du normierst einfach bzgl. der örtlichen Änderung, das ist aber nicht hilfreich um den geringsten Abstand zu einem gegebenen Zeitpunkt zu ermitteln! Die parametrisierte Änderung muss so erfolgen (und damit der Richtungsvektor so aufgebaut sein), dass in gleichen Zeiten auch das gleiche Vielfache des Richtungsvektors zurückgelegt wird! Wie Du Dem Post von

12 : 19

Uhr entnehmen kannst, sind die beiden Richtungsvektoren bereits nach der Zeit normiert!

Fabi093 aktiv_icon

20:11 Uhr, 13.03.2013

Kann mir bitte jemand eine musterlösung geben? Ich komm irgendwie nicht weiter.

prodomo aktiv_icon

07:59 Uhr, 14.03.2013

Du hast richtig herausgefunden, dass die Kurse sich kreuzen, und zwar bei

(445 | 290 | 180)

. Dafür ergibt sich

s = 20

und

t = 25

. Pilot 2 ist also 5 Sekunden länger unterwegs (er ist ja auch bereits in der Luft). Pilot 1 ist also 5 Sekunden vor ihm am Schnittpunkt. Zu diesem Zeitpunkt hat Pilot 2 den Ortsvektor

(\begin{matrix} 245 \\ 240 \\ 205 \end{matrix}) + 20 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 405 \\ 280 \\ 185 \end{matrix})

. Jetzt "synchronisieren" wir die Uhren (da sie sich während der gesamten Zeit aufeinander zu bewegt haben, könnte der Zeitpunkt des geringsten Abstandes allerdings auch schon vorher liegen

!)

. Der Vektor zwischen ihnen ist jetzt

(\begin{matrix} 405 \\ 280 \\ 185 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) - [(\begin{matrix} 445 \\ 290 \\ 180 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 6,25 \\ 7,5 \\ - 1 \end{matrix})] = (\begin{matrix} - 40 + 1,75 \cdot r \\ - 10 - 5,5 \cdot r \\ 5 \end{matrix})

. Seine Länge ist dann

\sqrt{{(- 40 + 1,75 \cdot r)}^{2} + {(- 10 - 5,5 \cdot r)}^{2} + 5^{2}} = \sqrt{\frac{533}{16} \cdot r^{2} - 30 \cdot r + 1725}

. Der Wert dieser Wurzel wird minimal, wenn der Radikand minimal, aber dabei nicht negativ wird. Also

\frac{533}{8} \cdot r - 30 = 0

oder

r = 0,45

(gerundet). Das sind also

0,45

Sekunden nach dem Zeitpunkt, an dem der erste Pilot den Kreuzungspunkt passiert hat.

Fabi093 aktiv_icon

13:20 Uhr, 14.03.2013

Alles klar vielen dank hast mir sehr geholfen. :-)
Und vielen dank für die Mühe das alles aufzuschreiben.

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