Gleichseitiges Dreieck-Heronformel

In einem gleichseitigen Dreieck sind drei Seiten mit bekannter Länge einbeschrieben,so dass sich drei Teildreiecke ergeben.Die einbeschriebenen Seitenlängen betragen 30,40 und 50mm.Wie berechne ich die Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks?
Mein Lösungsvorschlag:Für die Teilfläche 1 nach der Heron Flächenformel, die weiteren Teilflächen werden nach der gleichen Formel bestimmt.
Ich berechne zuerst den halben Dreiecksumfang für jedes Teildreieck.

${\displaystyle \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+40+50)÷2}$

${\displaystyle \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+30+50)÷2}$

${\displaystyle \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}3=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+40+30)÷2}$

Für das Teildreieck 1 bestimme ich den Flächeninhalt nach der heronschen Formel zu:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1=\sqrt{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1(\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1-40)(\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1-50)(\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}}$

A2 und A3 löse ich wie A1 nach a auf. auf.

Nun komme ich mit der Auflösung der Formel nach A1 nicht mehr weiter.

Frage : Bitte um Schrittweise Ableitung der A1 Formel nach der Seite a. Wie gross ist die Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks?