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Gleichung höheren Grades ohne Polynomdivision?
Universität / Fachhochschule
Polynome
Tags: Polynomdivision
 
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Hallo Zusammen wer kann mir sagen wie ih die folgende Gleichung ohne Polynondivision lösen kann ? Danke. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Polynomdivision Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grenzwerte im Unendlichen Nullstellen Polynomdivision Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen |
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Die Lösung springt hier doch fast ins Auge. Wenn nicht, bleiben ein Näherungsverfahren oder die graphische Lösung. |
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wie wäre der vollständige rechenweg ? |
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Man kann die Gleichung algebraisch nicht lösen. Daher mein Verweis auf ein Näherungsverfahren . Newton).Das hieße aber hier, mit Kanonen auf Spatzen schließen. |
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Danke das wäre mir nämlich auch nicht bekannt gewesen. die Aufgabe ist aus einem Buch Klasse. Mich wundert das dann da steht: Löse die Gleichung.... |
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Hallo, es gibt für Gleichungen 4. Grades durchaus Lösungsformeln, siehe . www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/viertergrad.pdf oder de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung aber die verwendet praktisch niemand, da sie zu kompliziert sind. Stattdessen werden im Zweifelsfall numerische Verfahren verwendet. Wie supporter jedoch bereits bemerkte, ist das hier nicht notwendig, denn man kann eine Lösung erraten. Hierzu folgender Hinweis: Das Produkt aller Nullstellen ist gleich dem konstanten Glied (bis auf das Vorzeichen). Da das konstante Glied ganzzahlig ist, besteht die Möglichkeit, dass es ganzzahlige Nullstellen gibt (muss aber nicht sein). Falls diese Gleichung ganzzahlige Nullstellen hat, so müssen diese also Teiler des konstanten Gliedes sein. Um ganzzahlige Nullstellen zu finden (sofern vorhanden) kann man also alle ganzzahligen Teiler des konstanten Gliedes ermitteln und diese einfach mal probeweise in die Gleichung einsetzen. Erfüllt ein Teiler die Gleichung, dann hat man eine Nullstelle gefunden. Ist ein Teiler, dann sollte man nicht nur sondern auch probieren. Viele Grüße Yokozuna |
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Danke ich habe ausser Faktorzerlegung keine sinnvollen Methoden gefunden. VG isotonico |
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@Yokozuna: Danke für den Hinweis auf die quartischen Gleichungen. Aber die Lösungsformel dafür hier zu verwenden hieße geradezu mit Marschflugkörpern, die Wasserstoffbomben tragen, auf die berühmten Spatzen schießen, oder? :-)) |
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Ja, das ist was für Masochisten. |
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Hallo, auch wenn die Formeln für Gleichungen vierten Grades nur was für Masochisten sind, ist es schlicht und ergreifend falsch, wenn man schreibt: "Man kann die Gleichung algebraisch nicht lösen." Genauso, wie es falsch ist, wenn man schreibt: "Falls diese Gleichung ganzzahlige Nullstellen hat, so müssen diese also Teiler des konstanten Gliedes sein." Als simples Gegenbeispiel dient . Eine Lösung ist und dass die 2 Teiler von 1 sein soll, wäre mir neu! Damit dieser Satz stimmt, muss man in die Überlegung mit einfliessen lassen, dass die Koeffizienten alle ganzzahlig sind. Und wenn man dann eine Nullstelle erraten hat, bleibt einem nichts anderes übrig, als die Polynomdivision. Die Frage des Fragestellers war aber, wie man diese Gleichung OHNE Polynomdivision lösen kann. Da es nur eine ganzzahlige Lösung gibt, kann man auch nicht alle Lösungen durch "Raten" finden, noch nicht einmal die zweite reelle Lösung. Letztendlich steht man nach der Polynomdivision vor dem selben Problem: Entweder den (nicht mehr ganz so masochistischen) Lösungsweg für GLeichungen dritten Grades oder ein Näherungsverfahren! Fazit: Eine Lösung ohne Polynomdivision ist möglich! Diese ist entweder - sehr aufwändig oder - man benutzt ein Näherungsverfahren um die beiden reellen Lösungen zu finden oder - man sieht/errät die eine ganzzahlige Nullstelle und ermittelt die andere reelle Nullstelle durch ein Näherungsverfahren! |
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@Bummerang: "und der Leitkoeffizient Teiler aller anderen Koeffizienten ist" Du gehst extrem genau mit den Aussagen anderer Helfer ins Gericht. Dein eigenes Gegenbeispiel (auf ganzzahlige Koeffizienten gebracht) widerlegt Deine obige Aussage! |
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Hallo Matlog, "Du gehst extrem genau mit den Aussagen anderer Helfer ins Gericht." Sind sie denn nicht falsch? Gerne darf man auch bei mir Fehler suchen und finden. Ich korrigiere dann bestmöglich, so wie jetzt auch! Ich hatte das nur auf die Schnelle geschrieben und war mir sicher, dass im Falle der Teilbarkeit auch die ganzzahlige Nullstelle ein Teiler des Absolutgliedes ist. Für den Fall, dass der Leitkoeffizient kein Teiler ist, wollte ich das Ganze offen lassen, da ich es auf die Schnelle nicht erst überdenken wollte. Insofern stellt mein Gegenbeispiel, auf ganzzahlige Koeffizienten erweitert, . keinen Widerspruch dar. |
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Hallo Bummerang, (gut, dass Du gerade Deinen letzten Beitrag nochmal neu geschrieben hast!) Streng genommen waren die Aussagen der anderen Helfer natürlich nicht ganz richtig, aber meiner Meinung nach bezogen auf den mathematischen Hintergrund des Fragestellers (dem ich wirklich nicht zu nahe treten will) durchaus hilfreich und ausreichend. Aber zu den Polynomen: Wenn ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ganzzahlige Nullstellen haben soll, dann müssen diese (positive oder negative) Teiler des Absolutglieds sein. Der Leitkoeffizient spielt hier keine Rolle. Dieser kommt erst ins Spiel, wenn man das Polynom auf rationale Nullstellen untersuchen will. Dafür muss dann der Leitkoeffizient durch den Nenner der Nullstelle, das Absolutglied durch den Zähler der Nullstelle teilbar sein. Hoffentlich habe ich das jetzt korrekt dargestellt! |
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@Bummerang: '...ist es schlicht und ergreifend falsch, wenn man schreibt: "Man kann die Gleichung algebraisch nicht lösen." ' Dass diese Aussage nicht richtig ist habe ich bereits in meinem Beitrag von Uhr erwähnt und Supporter hat um seinen Fehler praktisch eingeräumt. Deine Aussage enthält also keinerlei neue Informationen und es ist deshalb eigentlich überflüssig, nochmal daran rumzumäkeln. '...Genauso, wie es falsch ist, wenn man schreibt: "Falls diese Gleichung ganzzahlige Nullstellen hat, so müssen diese also Teiler des konstanten Gliedes sein."' Auch diese Feststellung von Dir entbehrt jeder Grundlage. Du must nur genau lesen, was ich geschrieben habe: "Falls diese Gleichung ..." wobei die Betonung auf "diese" liegt. Ich habe mich ganz klar auf die Gleichung des Fragestellers bezogen und für diese Gleichung ist meine Aussage richtig. Für Dein Beispiel hätte ich so eine Aussage nie getroffen. Ich räume gerne ein, dass ein Hinweis auf die Ganzzahligkeit der Koeffizienten durchaus sinnvoll gewesen wäre, damit der Fragesteller später nicht auf die Idee kommt, diese Aussage etwa auf Dein Beispiel anzuwenden, aber Du weißt ja selbst wie das ist, wenn man manchmal etwas auf die Schnelle macht. isotonico schrieb weiter in seinem Post von Uhr: "die Aufgabe ist aus einem Buch Klasse. Mich wundert das dann da steht: Löse die Gleichung...." Also ich denke, dass es nicht die Aufgabe war, alle Lösungen der Gleichung zu finden, sondern dass das Auffinden der ganzzahligen Lösung gereicht hätte. Eine Polynomdivision hätte da auch nichts gebracht, da die Ermittlung der Nullstelle der Gleichung 3.Grades numerische Verfahren erfordern würde und ich habe meine Zweifel, ob numerische Verfahren . Newton-Verfahren) in der Klasse durchgenommen werden. Die algebraischen Verfahren zur Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades werden wohl auch nicht Stoff der . Klasse sein (ich räume hier ein, dass ich nicht weiß, was heutzutage in der . Klasse in Mathematik unterrichtet wird). Ich werde irgendwie den Eindruck nicht los, dass unser "Zusammenstoss" vor etwa Wochen möglicherweise etwas mit Deiner Kritik an meiner Antwort zu tun hat und dass Du jetzt versuchst, in irgendeinem meiner Beiträge Fehler zu finden, um Dich zu revanchieren (wenn Du da lange genug suchst, wirst Du bestimmt mal Erfolg haben). Es gibt ja meistens viele verschiedene Möglichkeiten, eine Gleichung zu lösen und oft kann man sich darüber streiten, ob der eine Weg besser ist oder der andere. Eben weil das oft Geschmacksache ist, halte ich mich in der Regel auch mit einer Wertung zurück. Aber in diesem einen Fall vor Wochen fand ich Deine Methode, die rechte Seite auf den Hauptnenner zu bringen, wirklich zu kompliziert und die Fragestellerin hat ja Deinen Weg offensichtlich erst mal nicht verstanden (ob sie ihn nach Deinen Erläuterungen verstanden hat, wissen wir ja leider nicht, da sich hierzu nicht mehr eindeutig geäußert hat). Das war damals jedenfalls meine Meinung und es ist auch heute noch meine Meinung. Vielleicht war die Art und Weise meiner Formulierung etwas harsch und dafür entschuldige ich mich. Es ist Dir ja unbenommen, dass Du da eine andere Meinung hast und Deine Lösung gleichwertig mit meiner Lösung oder sogar besser siehst (eine dritte Person kommt wahrscheinlich wieder zu einer anderen Überzeugung). Ich fürchte in diesem Fall, dass wohl keiner den anderen davon überzeugen kann, dass seine Lösung besser ist. Aber wie gesagt, es ging hier um Meinungen und nicht um mathematische Wahrheiten. Ich meinerseits habe jedenfalls kein Interesse an weiteren "Grabenkämpfen". Viele Grüße Yokozuna |
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